Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 7b

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E ³ que equidistam de A , B e C e determine as coordenadas do circuncentro do triângulo A B C , nos casos:

b) A = 3 ,   0 ,   1                     B = 2 ,   1 ,   0                     C = ( 4 ,   - 1 ,   2 )

Passo 1

b) Vamos por partes ta ok? Queremos que esse lugar geométrico tenha pontos X = ( x ,   y ,   z ) que tenham a mesma distância até A ,   B e C .

Primeiro vamos fazer

d X ,   A = d ( X ,   B )

Pela fórmula de distância entre pontos:

( x - 3 ) 2 + y 2 + z - 1 2 = x - 2 2 + y - 1 2 + z 2

Elevando os dois lados ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis:

x 2 - 6 x + 9 + y 2 + z 2 - 2 z + 1 = x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 + z ²

- 2 x + 2 y - 2 z + 5 = 0   ( I )

Belezinha, chegamos na expressão de um lugar geométrico equidistante a A e B . Agora vamos colocar o ponto C em jogo!!

Passo 2

Agora vamos fazer

d X ,   B = d ( X ,   C )

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = x - 4 2 + y + 1 2 + ( z - 2 ) 2

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 4 z + 4

4 x - 4 y + 4 z - 16 = 0

x - y + z - 4 = 0     ( I I )

Passo 3

Então temos um sistema com os planos ( I ) e ( I I )

- 2 x + 2 y - 2 z + 5 = 0   x - y + z - 4 = 0

Vamos encontrar a intersecção entre eles.

Multiplicando a segunda equação por -2:

- 2 x + 2 y - 2 z + 5 = 0   - 2 x + 2 y - 2 z + 8 = 0

Opa opa, olha que coisa, estamos tentando achar a intersecção entre dois planos paralelos, pois os dois têm o mesmo vetor n = ( - 2 ,   2 ,   - 2 ) !! E eles não são coincidentes porque nosso coeficiente d é distinto um do outro.

Logo, se temos planos paralelos distintos, não há intersecção entre eles!!

Portanto, não existe lugar geométrico equidistante de A , B e C :O

Resposta

b) Não existe.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam abc respectivamente as coordenadas dos pontos A ,BeC situados sobre um eixo. Sabendo que a=17, c=32 e d ( A , B ) d ( A , C ) = 2 3 qual é o valor de b?
Dado os pontos A, B no eixo E, defina a distância orientada δ ( A , B ) entre eles pondo δ A , B = d ( A , B ) se A está à esquerda de B e pondo δ A , B = - d ( A , B ) se A está à direita de B. Prove
Os pontos A, B e X sobre o eixo E tem coordenadas a, b e x respectivamente. Se X ' é o simétrico de X em relação ao ponto A e X ' ' é o simétrico de X ' em relação ao ponto B, quais as coordenadas de
Descreva o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas a satisfazem: x 2 + y 2 = x
Descreva o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas a satisfazem: x 2 + y 2 + x + y = 0