Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 24b
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em e outra em e descreva-o geometricamente.
(b) e
Passo 1
(b) Vamos começar olhando para as equações desses planos. O plano é:
E o plano é:
Logo de cara você pode perceber que as duas equações são bem parecidas! Elas só diferem por aquela constante ali na segunda equação.
Quando a gente tem uma equação do plano com essa forma geral aqui:
O vetor formado por esses coeficientes:
É normal ao plano!
Vamos essa regra para encontrar os vetores normais a cada um dos planos:
Os dois vetores são proporcionais um ao outro (nesse caso inclusive são iguais). Isso quer dizer que os planos são paralelos.
Como as equações e não são proporcionais uma a outra (por conta daquela constante ali na segunda), então eles são paralelos e distintos.
Passo 2
Bom, então se temos dois planos paralelos é fácil descobrir qual o lugar geométrico formado pelos pontos médios entre eles:
Em outras palavras, no meio do caminho entre dois planos paralelos temos simplesmente outro plano paralelo.
Como fica a equação desse plano? Bom, a distância entre os nossos dois planos é constante e igual a . Essa distância é dada pela constante na segunda equação:
Então a equação no plano no meio do caminho entre esses dois é:
Pronto! Essa é a equação que estávamos procurando.
Resposta
Os pontos médios formam um plano de equação . O plano é paralelo aos outros dois.