Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 5
Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta que contém , é paralela ou contida no plano e é concorrente com a reta .
(a)
(b)
(c)
(d) é a interseção dos planos e
Passo 1
Vamos começar escrevendo a equação vetorial da nossa reta :
Beleza, nosso objetivo é encontrar todos esses termos aí de cima. Em todos os itens, a gente pode considerar:
Ou seja, é só usar o ponto que o enunciado eu, porque a ideia é que ele pertença à reta.
Depois nós vamos usar mais duas condições: primeiro, se a reta é paralela/contida no plano, então:
Ela é perpendicular ao vetor normal do plano! A gente pode encontrar esse vetor normal olhando os coeficientes da equação, por exemplo:
E segundo, a reta tem que ser concorrente à reta . Isso quer dizer que esse conjunto aqui:
Tem que ser linearmente dependente! Vamos ver mais pra frente como aplicar isso.
Essa condição garante que as retas são coplanares. Se além disso elas não forem paralelas (ou seja, se os vetores diretores não forem proporcionais um ao outro), então as retas são concorrentes.
Passo 2
(a) Começando pelo primeiro item, o ponto é , então:
E o vetor normal ao plano é:
Então:
Pelo enunciado, a reta é:
Então os vetores do nosso conjunto são:
Se esses três formam um conjunto LD, então:
Esse conjunto precisa ter uma solução não trivial! Escrevendo esse sistema na forma matricial:
Isso é o mesmo que dizer que essa matriz da esquerda precisa ter determinante igual a zero:
Então, juntando isso com a equação de cima, ficamos com o seguinte sistema:
Pela segunda equação:
Então, usando como variável livre:
Então nossa reta é:
O vetor diretor não é proporcional a , então essa resposta vai servir!
Passo 3
(b) No segundo item o ponto é , então:
E o vetor normal ao plano é:
Então:
Pelo enunciado, a reta é:
Então os vetores do nosso conjunto são:
Se esses três formam um conjunto LD, então:
Esse conjunto precisa ter uma solução não trivial! Escrevendo esse sistema na forma matricial:
Isso é o mesmo que dizer que essa matriz da esquerda precisa ter determinante igual a zero:
Então, juntando isso com a equação de cima, ficamos com o seguinte sistema:
Opa, chegamos em um impasse aqui! As duas equações do sistema são equivalentes, então a única condição aqui é:
Isso quer dizer que existem infinitas soluções para o nosso problema! Existem infinitas retas que atendem à condição que foi dada.
Passo 4
(c) No terceiro item o ponto é , então:
E o vetor normal ao plano é:
Então:
Pelo enunciado, a reta é:
Então os vetores do nosso conjunto são:
Se esses três formam um conjunto LD, então:
Esse conjunto precisa ter uma solução não trivial! Escrevendo esse sistema na forma matricial:
Isso é o mesmo que dizer que essa matriz da esquerda precisa ter determinante igual a zero:
Então, juntando isso com a equação de cima, ficamos com o seguinte sistema:
Pela segunda equação:
Substituindo isso na primeira e fazendo :
Então a nossa reta seria:
Como é uma constante arbitrária, então podemos fazer para tirar aquela fração:
Mas espera aí! Esse vetor diretor é igual ao vetor diretor da reta ! Isso quer dizer que elas são paralelas.
Como essa era a única solução do nosso sistema, concluímos que não existe nenhuma reta que atende a todas as condições do enunciado.
Ou seja, no item (c) não temos solução.
Passo 5
(d) Antes de mais nada vamos achar a equação vetorial da reta. O enunciado deu duas equações:
Se deixarmos como variável livre, a nossa reta pode ser:
Ok, então vamos reescrever o enunciado. Queremos achar a reta que contém esse ponto:
É paralela ou contida nessa plano:
E é concorrente a essa reta:
Agora podemos seguir o mesmo procedimento de antes para achar a reta. O ponto inicial é , então:
E o vetor normal ao plano é:
Então:
Pelo enunciado, a reta é:
Então os vetores do nosso conjunto são:
Se esses três formam um conjunto LD, então:
Esse conjunto precisa ter uma solução não trivial! Escrevendo esse sistema na forma matricial:
Isso é o mesmo que dizer que essa matriz da esquerda precisa ter determinante igual a zero:
Então, juntando isso com a equação de cima, ficamos com o seguinte sistema:
Pela segunda equação:
Então, usando como variável livre:
Então nossa reta é:
O vetor diretor não é proporcional a , então essa resposta vai servir!
Resposta
(a) .
(b) Infinitas soluções.
(c) Nenhuma solução.
(d) .