Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 38

Prove que existe um quadrado ABCD tal que , e , e determine (SO). Calcule as coordenadas do ponto , sabendo que é altura da pirâmide de base e vértice

Passo 1

Primeiro, vamos provar que a região determina um quadrado. Para isto, vamos calcular as distâncias entre os pontos. Então,

Então, como , podemos ter um quadrado de lados e . Além disto, a diagonal será dado pelos segmentos e . Para confirmarmos a possibilidade de termos um quadrado, precisamos verificar que os segmentos e são perpendiculares. Para isto, basta checarmos:

Então,

Como obtivemos uma verdade, os segmentos são perpendiculares. Como eles tem o mesmo comprimento, existe sim um quadrado !

Passo 2

Agora, vamos determinar o ponto . Para isto, basta fazermos a seguinte soma de ponto com vetor:

E assim calculamos o último vértice do nosso quadrado!

Passo 3

Para finalizarmos, precisamos determinar as coordenadas do ponto , sabendo que é a altura da pirâmide de base .

Para isto, vamos precisar determinar inicialmente o plano que contém o quadrado . Para isto, temos:

Dividindo o vetor acima por 3, para facilitar nossas contas apenas, temos o seguinte vetor normal do plano :

Portanto, o plano possui o seguinte formato:

Para descobrirmos o valor de , basta substituirmos as coordenadas do ponto . Então,

Portanto, temos o plano

Passo 4

Agora, podemos determinar o ponto . Ele será dado pela interseção de uma reta com o plano .

Esta reta é perpendicular ao plano e passa pelo ponto . Então, a reta é:

Fazendo a interseção da reta com o plano, temos:

Portanto, o ponto será:

E assim, terminamos a questão.

Resposta

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