Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 34
Um paralelogramo ABCD tem um lado contido na reta e um vértice no plano . Sendo e , determine e .
Passo 1
Para resolver esta questão, precisamos lembrar que um paralelogramo possui lados opostos paralelos e ângulos congruentes!
Bom, a questão nos diz que dois pontos pertencem a reta e um ponto pertence ao plano . Nosso primeiro trabalho então é checar se os pontos e dado pertencem a algum deles.
Portanto, começando pela reta e pelo ponto , temos:
Se , temos
Portanto, o ponto realmente pertence a reta ! Já para o ponto , temos:
Então, não existe valor de que satisfaça a relação acima. Portanto, não pertence a reta . Agora, vamos checar se pertence ao plano:
Eita! O ponto não pertence ao plano!
Então, precisamos descobrir um ponto do plano e um ponto da reta que fechem um paralelogramo!
Passo 2
E agora, o que fazer? Vamos assumir que o ponto pertence a reta e o ponto ao plano, só para facilitar a nossa associação.
Entramos em uma discussão, será se AB é lado ou diagonal? Vamos começar assumindo que ele é lado.
Queremos descobrir as coordenadas de um ponto que pertence a reta . Este ponto terá coordenadas .
Como é um lado do paralelogramo e este lado será paralelo ao lado , então, sabemos que a seguinte relação é verdadeira:
Assumindo que
Como pertence ao plano, ele satisfaz a sua equação. Portanto,
Portanto, e as coordenadas de .
Fazendo o mesmo para o caso ,
Como pertence ao plano, ele satisfaz a sua equação. Portanto,
Portanto, temos e .
Com isto, finalizamos o caso da aresta ser um lado.
OBS: a segunda solução correta é esta, e não a do final do livro.
Passo 3
Só que vejam só, temos uma última possibilidade a verificar. Imaginem agora que o ponto pertence tanto a reta quanto ao plano! Isto pode ocorrer pois a reta e o plano são transversais!
Então, vamos substituir as coordenadas de um ponto da reta na equação do plano e verificar qual o valor de que satisfaz a relação. Logo,
Portanto, .
Agora, vamos descobrir as coordenadas de sabendo que:
Portanto, vamos obter:
Então, temos e .
Passo 4
Vamos analisar agora se for uma diagonal. Neste caso, sabemos que as arestas e são paralelas e de mesmo comprimento.
Para esta questão, temos duas possibilidades a serem analisadas: o ponto pertence somente a reta ou o ponto pertence tanto a reta quanto ao plano. Se o segundo caso ocorrer, significa dizer que o ponto não pertence ao plano também, mas somente ao espaço.
Independentemente da possibilidade a ser analisada, sabemos que a seguinte relação é uma verdade absoluta:
E como o vetor é paralelo ao vetor , sabemos então que .
Passo 5
É agora em que vamos separar a nossa análise. Vamos supor primeiramente que o ponto pertence apenas a reta. Consequentemente, o ponto pertence ao plano.
Então, seja , ele pertence ao plano se, e somente se, suas coordenadas forem dadas por . Substituindo estas coordenadas na relação que descrevemos no final do Passo 4, temos:
Agora, basta resolver o sistema acima para descobrir os valores das incógnitas , e . Portanto,
Portanto, a solução do sistema é:
E assim, a nossa primeira possibilidade dos pontos e são e .
OBS: as coordenadas de foram obtidas da relação , o que implica que .
Passo 6
Agora, vamos supor que o ponto é exatamente o ponto de interseção da reta com o plano. Portanto, satisfaz ambas as equações.
Como calculamos anteriormente, ele será: .
Agora, vamos descobrir o ponto que satisfaz aquela verdade que escrevemos no final do Passo 3. Lembrando, ela foi:
Portanto,
Resposta
Se for lado, temos as seguintes possibilidades:
Se for diagonal, temos as seguintes possibilidades: