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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 32

As arestas OA, OB, OC de um tetraedro e os ângulos AÔB, BÔC e CÔA medem, respectivamente, 2, 3, 4, 30°, 45° e 60°. Calcule o volume do tetraedro (SO).

Passo 1

Precisamos calcular o volume de um tetraedro ABCO. Durante a disciplina de Geometria Analítica, aprendemos a relacionar volume com produtos mistos. Em especial, o volume do tetraedro é dado por:

V = O A → , O B → , O C → 6

Descrito a operação que precisamos fazer, vamos agora descrever todos os dados que a questão nos deu. Se assumirmos as arestas do tetraedro como vetores, temos:

| | O A → | | = 2

| | O B → | | = 3

| | O C → | | = 4

θ = a n g O A → , O B → = 30 °

ϕ = a n g O B → , O C → = 45 °

β = a n g O A → , O C → = 60 °

Passo 2

Agora, vamos criar vetores que satisfaçam as relações acima. A começar, temos:

O A → = 2,0 , 0

Agora, vamos assumir que O B → = a 1 , b 1 , 0 . Como sabemos o ângulo entre O A → e O B → , temos a seguinte relação:

cos ⁡ θ = O A → ⋅ O B → | | O A → | | ⋅ | | O B → | |

3 2 = 2,0 , 0 ⋅ a 1 , b 1 , 0 2 ⋅ 3

3 3 = 2 a 1

a 1 = 3 3 2

Portanto, O B → = 3 3 2 , b 1 , 0 . Para finalizarmos, vamos utilizar a relação da norma de O B → . Portanto,

| | O B → | | = 3 3 2 2 + b 1 2 + 0 2 = 3

27 4 + b 1 2 = 3

27 4 + b 1 2 = 9

b 1 2 = 9 4

b 1 = 3 2

Por fim, O B → = 3 3 2 , 3 2 , 0 . Para finalizarmos esta etapa, vamos calcular o vetor O C → que é expresso por: O C → = a 2 , b 2 , c 2 . Como sabemos o ângulo entre O A → e O C → , temos a seguinte relação:

cos ⁡ β = O A → ⋅ O C → | | O A → | | ⋅ | | O C → | |

1 2 = 2,0 , 0 ⋅ a 2 , b 2 , c 2 2 ⋅ 4

4 = 2 a 2

a 2 = 2

Portanto, O C → = 2 , b 2 , c 2 . Como sabemos o ângulo entre O B → e O C → , temos a seguinte relação:

cos ⁡ ϕ = O B → ⋅ O C → | | O B → | | ⋅ | | O C → | |

2 2 = 3 3 2 , 3 2 , 0 ⋅ 2 , b 2 , c 2 3 ⋅ 4

6 2 = 3 3 + 3 2 b 2

b 2 = 12 2 - 6 3 3

b 2 = 4 2 - 2 3

Portanto, O C → = 2,4 2 - 2 3 , c 2 . Para finalizarmos, vamos utilizar a relação da norma de O C → . Portanto,

| | O C → | | = 2 2 + 4 2 - 2 3 2 + c 2 2 = 4

4 + 32 - 16 6 + 12 + c 2 2 = 4

4 + 44 - 16 6 + c 2 2 = 16

c 2 2 = 16 6 - 2

c 2 = 4 6 - 2

Portanto, O C → = 2,4 2 - 2 3 , 4 6 - 2

Passo 3

Agora, vamos fazer o cálculo do produto misto. Portanto,

O A → , O B → , O C → = 2 0 0 3 3 2 3 2 0 2 4 2 - 2 3 4 6 - 2

O A → , O B → , O C → = 12 6 - 2

Portanto, o volume do tetraedro é:

V = O A → , O B → , O C → 6 = 2 6 - 2

Resposta

V = 2 6 - 2

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Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π , nos casos:a) P = ( 1 ,0 ,1 ) π : x - 2 y + 4 z = 1 b) P = ( 4 ,0 ,1 ) π : 3 x - 4 y + 2 = 0
Para que valores de m a reta r : x - 1 m = y 2 = z m é transversal ao plano π : x + m y + z = 0 ?
Calcule m para que r seja paralela a pi :r : X = (1 , 1 , 1) + lambda (2 , m , 1) pi : X = (0 , 0 , 0) + lambda (1 , 2 , 0) + mu ( 1 , 0 , 1 )
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .c) r : x - y + z = 0 2 x + y - z - 1 = 0π : X = 0 , 1 2 ,0 + λ 1 ,- 1 2 ,0 + μ ( 0 ,1 ,1 )
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .a) r : X = 1 ,1 ,0 + λ 0 ,1 ,1π : x - y - z = 2