Determine o vértice B de um triângulo retângulo ABC, sabendo que (SO): A = 1,1 , 1 e a cota de C é maior que a de A ;A hipotenusa A C mede 3 e é ortogonal ao plano de equação x + y - z - 10 = 0 ;O lado A B é ortogonal ao plano de equação 2 x - y - z = 0 . se (SO).

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 43

Determine o vértice de um triângulo retângulo ABC, sabendo que (SO):

e a cota de é maior que a de ;

A hipotenusa mede e é ortogonal ao plano de equação ;

O lado é ortogonal ao plano de equação . se (SO).

Passo 1

Este tipo de questão nos devemos ir devagar, utilizando uma das informações por vez.

Começando pelo primeiro ponto, a cota de é maior do que a de . Calma, que diabos é cota? Bom, a cota de um ponto, nada mais é do que a terceira coordenada. Então, de , já sabemos que . Está é a única informação que tiramos do primeiro ponto.

Já o segundo ponto é outra história, vamos utilizar ele, juntamente da informação que discutida antes, para determinar o ponto .

O segundo ponto nos diz que a hipotenusa (olha aqui, já sabemos que é hipotenusa!) é ortogonal ao plano . Então, a reta que passa por e tem vetor diretor é:

Passo 2

Agora que descobrimos a equação da reta que passa por e e sabemos que um ponto pertence a reta se, e somente se, ele é expresso por: .

Agora, vamos descobrir quais os valores de que satisfazem:

Logo,

Com isto, temos os pontos e . E qual deles é o nosso ponto ?

Lembram da relação da cota? ? Pois é! Usamos agora!!! O nosso ponto então será .

Passo 3

Só nos resta descobrir o ponto . Para isto, podemos ir para o último ponto.

O lado é ortogonal ao plano de equação . Aqui, vamos repetir a ideia de escrever uma reta que passa por e é ortogonal a este plano, logo, tem vetor diretor . Então,

Sendo assim, existe algum valor de tal que .

Mas o que fazemos com isto? Vejam só, temos um triângulo retângulo e sabemos que a hipotenusa é o segmento . Agora questiono a vocês: qual é o ângulo entre os segmentos e ?

Sim! É exatamente 90°! E se o ângulo é reto, sabemos automaticamente que a seguinte relação é verdadeira:

Calculando os vetores acima anteriormente, temos:

Portanto,

Duas soluções. Se , significa que o vetor é exatamente o veto nulo. Já se , então, temos o ponto .

Assim, finalizamos a nossa questão!

Resposta

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Um triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos O x e O y e a hipotenusa na reta r . Seus vértices têm coordenadas inteiras, e r é concorrente com a reta s :6 x + 3 y - 4 z - 6 = 0

Obtenha uma equação geral do plano π que contém s e é paralelo a r : X = 2 ,0 ,2 + λ( 1 ,1 ,1 ) nos casos:a) s : x - y = 2 x + z - 1 = 1 - 2 y b) s : x - y = z - 1 = x + 2 y - z c) s : x + 3 y = 2 x -

a) Prove que o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de A = ( 2 ,1 ,1 ) , B = ( - 1 ,0 ,1 ) e C = ( 0 ,2 ,1 ) é uma reta e obtenha uma equação vetorial para ela.b) Mostre que a reta do ite

Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r .a) P = ( 0 ,1 ,- 1 ) r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 1 ,- 1 ,1 ) b) P = ( 0 ,0 ,0 ) r contém A = ( 1 ,- 1 ,1 ) e B = ( - 1 ,1

São dados o ponto P( 2 ,1 ,0 ) , a reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ 2 ,1 ,0 e o plano π : x + y + z - 3 = 0 . Para cada ponto Q, seja Q’ a projeção ortogonal de Q sobreπ . Determine os pontos Q da reta r tais