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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 43

Determine o vértice B de um triângulo retângulo ABC, sabendo que (SO):

  • A = 1,1 , 1 e a cota de C é maior que a de A ;
  • A hipotenusa A C mede 3 e é ortogonal ao plano de equação x + y - z - 10 = 0 ;
  • O lado A B é ortogonal ao plano de equação 2 x - y - z = 0 . se (SO).

Passo 1

Este tipo de questão nos devemos ir devagar, utilizando uma das informações por vez.

Começando pelo primeiro ponto, a cota de C é maior do que a de A . Calma, que diabos é cota? Bom, a cota de um ponto, nada mais é do que a terceira coordenada. Então, de C = a , b , c , já sabemos que c > 1 . Está é a única informação que tiramos do primeiro ponto.

Já o segundo ponto é outra história, vamos utilizar ele, juntamente da informação que c > 1 discutida antes, para determinar o ponto C .

O segundo ponto nos diz que a hipotenusa (olha aqui, já sabemos que A C é hipotenusa!) é ortogonal ao plano π . Então, a reta que passa por A e tem vetor diretor r → = 1,1 , - 1 é:

r : X = 1,1 , 1 + λ 1,1 , - 1

Passo 2

Agora que descobrimos a equação da reta que passa por A e C e sabemos que um ponto X pertence a reta se, e somente se, ele é expresso por: X = 1 + λ , 1 + λ , 1 - λ .

Agora, vamos descobrir quais os valores de λ que satisfazem:

d X , A = 3

Logo,

1 - 1 - λ 2 + 1 - 1 - λ 2 + 1 - 1 + λ 2 = 3

λ 2 + λ 2 + λ 2 = 3

λ = ± 1

Com isto, temos os pontos X 1 = 2,2 , 0 e X 2 = 0,0 , 2 . E qual deles é o nosso ponto C ?

Lembram da relação da cota? c > 1 ? Pois é! Usamos agora!!! O nosso ponto C então será C = X 2 = 0,0 , 2 .

Passo 3

Só nos resta descobrir o ponto B . Para isto, podemos ir para o último ponto.

O lado A B é ortogonal ao plano de equação 2 x - y - z = 0 . Aqui, vamos repetir a ideia de escrever uma reta que passa por A e é ortogonal a este plano, logo, tem vetor diretor s → = 2 , - 1 , - 1 . Então,

s : X = 1,1 , 1 + λ 2 , - 1 , - 1

Sendo assim, existe algum valor de λ tal que B = 1 + 2 λ , 1 - λ , 1 - λ .

Mas o que fazemos com isto? Vejam só, temos um triângulo retângulo e sabemos que a hipotenusa é o segmento A C . Agora questiono a vocês: qual é o ângulo entre os segmentos B A e B C ?

Sim! É exatamente 90°! E se o ângulo é reto, sabemos automaticamente que a seguinte relação é verdadeira:

B A → ⋅ B C → = 0

Calculando os vetores acima anteriormente, temos:

B A → = A - B = 1,1 , 1 - 1 + 2 λ , 1 - λ , 1 - λ = - 2 λ , λ , λ

B C → = C - B = 0,0 , 2 - 1 + 2 λ , 1 - λ , 1 - λ = - 1 - 2 λ , - 1 + λ , 1 + λ

Portanto,

B A → ⋅ B C → = 0

- 2 λ , λ , λ ⋅ - 1 - 2 λ , - 1 + λ , 1 + λ = 0

2 λ + 4 λ 2 - λ + λ 2 + λ + λ 2 = 0

6 λ 2 + 2 λ = 0

2 λ 3 λ + 1 = 0

Duas soluções. Se λ 1 = 0 , significa que o vetor B A → é exatamente o veto nulo. Já se λ 2 = - 1 / 3 , então, temos o ponto B = 1 3 , 4 3 , 4 3 .

Assim, finalizamos a nossa questão!

Resposta

B = 1 3 , 4 3 , 4 3

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Obtenha uma equação geral do plano π que contém s e é paralelo a r : X = 2 ,0 ,2 + λ( 1 ,1 ,1 ) nos casos:a) s : x - y = 2 x + z - 1 = 1 - 2 y b) s : x - y = z - 1 = x + 2 y - z c) s : x + 3 y = 2 x -
a) Prove que o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de A = ( 2 ,1 ,1 ) , B = ( - 1 ,0 ,1 ) e C = ( 0 ,2 ,1 ) é uma reta e obtenha uma equação vetorial para ela.b) Mostre que a reta do ite
Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r .a) P = ( 0 ,1 ,- 1 ) r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 1 ,- 1 ,1 ) b) P = ( 0 ,0 ,0 ) r contém A = ( 1 ,- 1 ,1 ) e B = ( - 1 ,1
São dados o ponto P( 2 ,1 ,0 ) , a reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ 2 ,1 ,0 e o plano π : x + y + z - 3 = 0 . Para cada ponto Q, seja Q’ a projeção ortogonal de Q sobreπ . Determine os pontos Q da reta r tais