Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 26c
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em e outra em e descreva-o geometricamente.
(c)
Passo 1
O segredo dessa questão é começar encontrando a posição relativa entre a reta e o plano.
A equação vetorial da reta é:
E para podermos comparar melhor, vamos escrever a equação vetorial do plano também:
Então um ponto qualquer no plano é:
Logo de cara você já deve ter percebido uma coisa: o vetor diretor da reta é igual a um dos vetores diretores do plano!
Isso quer dizer que, no mínimo, a reta é paralela ao plano. Agora temos que verificar se ela também está contida no plano.
Passo 2
O primeiro passo para isso é igualar as equações vetoriais da reta e do plano:
E como os dois vetores são linearmente independentes, as únicas soluções dessa equação são:
Qualquer ponto na reta é determinado pelo parâmetro . E pra qualquer a gente consegue ajustar e para ver que esse ponto também está no plano.
Ou seja, a reta está contida no plano.
Passo 3
Ok, como isso ajuda a gente a resolver o problema? Vamos fazer o desenho:
Não esqueça que isso é só uma ilustração: o plano na verdade é infinito!
Todos os segmentos que vão de até estão no plano . E como o plano é infinito, os pontos médios desses segmentos “geram” o plano inteiro.
Mas além de ver isso geometricamente, a gente também pode mostrar com álgebra.
O ponto médio de um segmento que vai de até é:
E como as constantes , e são arbitrárias, nós podemos juntar todas, e inclusive juntar o coeficiente . Então vamos mudar os nomes:
Então:
Que é simplesmente a equação vetorial do plano !
Resposta
O lugar geométrico formado por esses pontos médios é o próprio plano que foi dado no enunciado.