Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 41

Sejam , , , e o ponto que divide na razão 2. Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo a e cuja interseção com o tetraedro é um paralelogramo.

Passo 1

Então, precisamos obter a equação geral de um plano que contém e é paralelo a aresta . O problema é que esta informação não é suficiente para compormos o nosso plano.

Precisamos de algo mais. E este algo mais que é a grande dificuldade. E a resposta para isto está no fato do plano interceptar o tetraedro e obter um paralelogramo.

Uma condição necessária para que o plano satisfaça é que ele seja paralelo a arestas opostas. Então, se ele é paralelo a aresta , ele deve ser paralelo a aresta (basta você ver quais “letras” não foram utilizadas).

Portanto, o nosso plano é paralelo as arestas e . Ou também, podemos dizer que ele tem vetores diretores e .

Agora que temos dois vetores diretores e um ponto, já podemos compor o plano!

Passo 2

Agora que já sabemos o que fazer, vamos as contas. Então, vamos calcular os vetores e , e o ponto . Começando pelos vetores,

Agora, vamos calcular o ponto . Ele é o ponto que divide o segmento numa razão de 2:1. Então, significa dizer que:

Portanto, o segmento equivale a dois terços do segmento . Então, o ponto será:

Agora, calculando o vetor normal do plano, temos:

Portanto, o plano tem o seguinte formato: . Para descobrirmos o valor de , vamos substituir as coordenadas do ponto . Assim, obtemos:

Portanto, o plano que buscamos é:

Passo 3

O problema é que o plano que a condição anterior não é suficiente para a interseção ser um paralelogramo. Também é preciso que a interseção do plano com as 4 arestas resulte em um ponto interior a ele.

Então, vamos começar determinando as 4 equações da reta, uma para cada aresta que ela intercepta, as quais são: , , e (todas as arestas que não são paralelas).

Para a aresta , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto de cada uma das retas na equação do plano e verificar o valor de .

Se o valor de estiver na faixa , significa que o ponto de interseção é interior sim e assim provamos que o plano intercepta o tetraedro e forma um paralelogramo.

Começando pela aresta , em que , então:

Para a aresta , em que , temos:

Como todos os valores de obtidos respeitam a condição de que , podemos confirmar sim que a interseção do plano com o tetraedro é um paralelogramo

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As retas r : X = 1 ,0 ,0 + α( 0 ,1 ,1 ) , s : X = 0 ,2 ,0 + β( 1 ,0 ,1 ) e t : X = 0 ,0 ,3 + γ( 1 ,1 ,0 ) são concorrentes com h , respectivamente, nos pontos A , B e C . Sabendo que B é o ponto médio

O plano π contém r : x - y = x + z - 1 = 0 e determina, com os planos coordenados, um tetraedro de volume 1 / 12 . Obtenha os vértices do tetraedro e uma equação geral de π .

Considere as retas r : X = 1 ,1 ,0 + λ( 0 ,1 ,1 ) e s :( x - 1 ) / 2 = y = z . Sejam A o ponto de interseção de s com o plano π , e B e C , respectivamente, os pontos que r intercepta O x z e O x y .

O paralelogramo A B C D tem os lados A B e C D paralelos a r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 3 ,4 ,5 ) e os outros dois lados paralelos a π : x + y + 3 z = 0 . Sabendo que A = ( 0 ,0 ,0 ) e D = ( 1 ,1 ,1 ) , deter

Especifique, de acordo com os valores de h e k , o lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ caracterizado pelo sistema de equações 2 x - y + z = 1 k x - y + z = h