Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 41
Sejam , , , e o ponto que divide na razão 2. Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo a e cuja interseção com o tetraedro é um paralelogramo.
Passo 1
Então, precisamos obter a equação geral de um plano que contém e é paralelo a aresta . O problema é que esta informação não é suficiente para compormos o nosso plano.
Precisamos de algo mais. E este algo mais que é a grande dificuldade. E a resposta para isto está no fato do plano interceptar o tetraedro e obter um paralelogramo.
Uma condição necessária para que o plano satisfaça é que ele seja paralelo a arestas opostas. Então, se ele é paralelo a aresta , ele deve ser paralelo a aresta (basta você ver quais “letras” não foram utilizadas).
Portanto, o nosso plano é paralelo as arestas e . Ou também, podemos dizer que ele tem vetores diretores e .
Agora que temos dois vetores diretores e um ponto, já podemos compor o plano!
Passo 2
Agora que já sabemos o que fazer, vamos as contas. Então, vamos calcular os vetores e , e o ponto . Começando pelos vetores,
Agora, vamos calcular o ponto . Ele é o ponto que divide o segmento numa razão de 2:1. Então, significa dizer que:
Portanto, o segmento equivale a dois terços do segmento . Então, o ponto será:
Agora, calculando o vetor normal do plano, temos:
Portanto, o plano tem o seguinte formato: . Para descobrirmos o valor de , vamos substituir as coordenadas do ponto . Assim, obtemos:
Portanto, o plano que buscamos é:
Passo 3
O problema é que o plano que a condição anterior não é suficiente para a interseção ser um paralelogramo. Também é preciso que a interseção do plano com as 4 arestas resulte em um ponto interior a ele.
Então, vamos começar determinando as 4 equações da reta, uma para cada aresta que ela intercepta, as quais são: , , e (todas as arestas que não são paralelas).
Para a aresta , temos:
Para a aresta , temos:
Para a aresta , temos:
Para a aresta , temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto de cada uma das retas na equação do plano e verificar o valor de .
Se o valor de estiver na faixa , significa que o ponto de interseção é interior sim e assim provamos que o plano intercepta o tetraedro e forma um paralelogramo.
Começando pela aresta , em que , então:
Para a aresta , em que , temos:
Para a aresta , em que , temos:
Para a aresta , em que , temos:
Como todos os valores de obtidos respeitam a condição de que , podemos confirmar sim que a interseção do plano com o tetraedro é um paralelogramo