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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 22a

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.

(a) r :     X = 1 ,   2 ,   2 + λ 0 ,   1 ,   1                     s : X = 0 ,   0 ,   0 + μ ( 1 ,   0 ,   1 )

Passo 1

O exercício nos fornece duas retas r :     X = 1 ,   2 ,   2 + λ 0 ,   1 ,   1   e   s : X = 0 ,   0 ,   0 + μ ( 1 ,   0 ,   1 ) e pede para calcularmos a equação do lugar geométrico gerado pelos pontos médios dos segmentos que têm uma extremidade em uma reta e a outra em outra.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar achando um ponto genérico P pertencente a r :

P = 1 ,   2 ,   2 + λ 0 ,   1 ,   1

P = ( 1 ,   2 + λ ,   2 + λ )

Vamos achar, também, um ponto genérico Q pertencente a s :

Q = 0 ,   0 ,   0 + μ 1 ,   0 ,   1

Q = ( μ ,   0 ,   μ )

Para “terminarmos”, temos que os pontos médios dos segmentos P Q → terão a seguinte forma:

M = P x + Q x 2 , P y + Q y 2 , P z + Q z 2

M = 1 + μ 2 ,   2 + λ 2 ,   2 + λ + μ 2

Passo 3

Notem, que M depende de duas variáveis, logo é um plano:

M = 1 2 ,   1 ,   1 + λ 0 , 1 2 , 1 2 + μ 1 2 ,   0 , 1 2

M 1 2 ,   1 ,   1 + λ 0 ,   1 ,   1 + μ ( 1 ,   0 ,   1 )

Passo 4

Para achar a equação do plano, vamos achar o vetor normal, pois sabemos que um plano genérico a x + b y + c z + d = 0 tem como vetor normar n → = ( a ,   b ,   c ) , certo? Para acharmos o vetor normal, temos que fazer o produto vetorial dos vetores que geram o plano:

w → × v → = i ,   j ,   k

w → × v → = i j k 0 1 1 1 0 1

w → × v → = 1 ,   1 , - 1

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores usando como ponto de referência o ponto da equação vetorial:

1 . x - 1 2 + 1 . y - 1 - 1 . z - 1 = 0

x - 1 2 + y - 1 - z + 1 = 0

Deixando mais bonitinho, ficamos finalmente com a equação:

2 x + 2 y - 2 z - 1 = 0

Resposta

2 x + 2 y - 2 z - 1 = 0

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Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. 2 x - 5 y = 4
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 1,2 , - 1 e que seja perpendicular às direções dos vetores u → = 1,1 , 1 e v → = 1 , - 2,1 .
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela à reta dada. ( 2 , - 5 ) e x - y = 1
Determine um vetor não-nulo que seja ortogonal aos vetores u → e v → dados. u → = 3 , 2 , - 1 e v → = - 1,2 , 1
Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja paralelo aos vetores u → e v → dados. 1,2 , 1 , u → = - 1 , 1 , 2 e v → = 2 , 1 , - 1