Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 7b
Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas e .
Passo 1
O problema quer que achemos a reta que seja perpendicular tanto a como a . Primeiro vamos escrever a reta na forma vetorial:
Assim,
Substituindo na primeira equação
Assim,
Portanto,
Já a reta pode ser escritca como
Portanto, sua equação vetorial é
O vetor diretor de é enquanto que o de é . Como queremos uma reta que seja perpendicular as duas, o vetor diretor deve ser perpendicular tanto a como a . Assim, podemos achá-lo pelo produto vetorial:
Assim, o vetor diretor dessa reta é
Passo 2
Um ponto genérico da reta é
Já um ponto na reta é
Como queremos achar uma reta que corta essas duas e tem vetor diretor , vamos supor que e são esses pontos de encontro, de modo que e sejam paralelos. Assim,
Portanto,
Logo,
Isolando na primeira equação:
Substituindo nas demais:
Portanto,
Assim,
A reta passa por esses dois pontos e tem vetor diretor . Uma de suas equações é