Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s .

r : X = 4 ,   - 1 ,   0 + λ   2 ,   - 4 ,   - 1                                             s : x + 2 z = 4 = 4 z - y - 1

Passo 1

O problema quer que achemos a reta que seja perpendicular tanto a r como a s . Primeiro vamos escrever a reta s na forma vetorial:

x + 2 z = 4 4 z - y - 1 = 4

Assim,

x = 4 - 2 z           e             y = 4 z - 5

Portanto,

x , y ,   z = 4 - 2 z ,   4 z - 1 ,   z = 4 ,   - 5 ,   0 + z   ( - 2 ,   4 ,   1 )

O vetor diretor de s é u → = ( 2 ,   - 4 ,   - 1 ) , o mesmo da reta r . Elas são paralelas! Sendo assim, existem infinitas retas que são perpendiculares às duas!

Passo 2

Mas calma meu caro jovem gafanhoto! Não é porque são infinitas retas que ainda não podemos saber qual é as suas equações! E é isso que vamos fazer aqui agora! Encontrar essas equações!

Para facilitar o entendimento, vamos fazer o seguinte: r e s são paralelas de modo que podemos essas duas retas em um mesmo plano. Agora vamos olhar para esse plano de cima pra baixo e tirar uma foto:

Agora, vamos pegar dois pontos: um em cima da reta s e outro na r :

O ponto A que está em cima da reta r pode ser dado por:

A = 4 ,   - 1 ,   0 + λ   2 ,   - 4 ,   - 1

Já o pondo B ...

B = 4 ,   - 5 ,   0 + t   ( - 2 ,   4 ,   1 )

O vetor A B então pode ser determinado facilmente fazendo...

A B = B - A = 4 ,   - 5 ,   0 + t   - 2 ,   4 ,   1 - 4 ,   - 1 ,   0 - λ   2 ,   - 4 ,   - 1

Podemos simplificar essas continhas fazendo a subtração esses vetorizinhos...

A B = B - A = 0 ,   - 4 ,   0 + t + λ - 2 ,   4 ,   1 =

- 2 t - 2 λ ,   4 t + 4 λ - 4 ,   t + λ

Agora, olhando para o desenho abaixo, repare que podemos tomar o vetor diretor da reta perpendicular como sendo A B , desde que o vetor A B seja perpendicular ao vetor diretor da reta r :

Os dois vetores, então serão perpendiculares somente se o produto escalar entre elas for igual a 0 :

2 ,   - 4 ,   - 1 ⋅ - 2 t - 2 λ ,   4 t + 4 λ - 4 ,   t + λ = 0

2 - 2 t - 2 λ - 4 4 t + 4 λ - 4 - t - λ = 0

Simplificando...

- 4 t - 4 λ - 16 t - 16 λ + 16 - t - λ = 0   →

- 21 t - 21 λ + 16 = 0     →

- 21 λ + t + 16 = 0     →

Então concluímos que...

λ + t = 16 21

O vetor A B , portanto, será...

A B = 0 ,   - 4 ,   0 + 16 21 - 2 ,   4 ,   1     →

A B = - 32 21 , 64 21 - 4 , 16 21   →

A B = - 32 21 , 64 - 4 ⋅ 21 21 , 16 21   →

A B = - 32 21 , - 20 21 , 16 21  

Com o vetor diretor em mãos, podemos dar a equação da reta perpendicular que vou chamar de p :

p : X = A + u - 32 21 , - 20 21 , 16 21

Onde u é o parâmetrod da reta e A é um ponto que pertence a essa reta. SIM! Eu não chamei de A atoa, a reta perpendicular, vai passar pelo ponto A da reta r , logo a reta p será...

p : X = 4 ,   - 1 ,   0 + λ   2 ,   - 4 ,   - 1 + u - 32 21 , - 20 21 , 16 21

Como o ponto A é um ponto qualquer da reta r , para qualquer valor de λ teremos um novo ponto A e portanto uma nova reta perpendicular (o que prova que existem de fato infinitas retas perpendiculares)

Resposta

Existem infinitas retas perpendiculares p que pode dependem do parâmetro u e de uma valor constante escolhido λ .

p : X = 4 ,   - 1 ,   0 + λ   2 ,   - 4 ,   - 1 + u - 32 21 , - 20 21 , 16 21

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