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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 66

Obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:

A ( 3 , - 2 , - 1 ) e r : x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y - z + 7 = 0

Passo 1

Vamos começar resolvendo esse sisteminha da reta r :

x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y - z + 7 = 0

Somando as duas, ficamos com:

3 x + 3 y + 6 = 0

y = - x - 2

Substituindo esse valor na segunda equação ficamos com:

2 x - x - 2 - z + 7 = 0

z = x + 5

Então, tomando x = λ , temos que a parametrização fica assim:

r = 0 , - 2,5 + λ ( 1 , - 1,1 )

Passo 2

Para acharmos a equação do plano precisamos de 3 pontos, o primeiro o enunciado nos diz que é o ponto A = ( 3 , - 2 , - 1 ) , para achar os outros dois pontos vamos atribuir dois valores qualquer para λ , por exemplo λ = 1 e λ = 2 :

Para λ = 0 , temos:

B = ( 0 , - 2,5 )

Para λ = 1 , temos:

C = 0 , - 2,5 + ( 1 , - 1,1 )

C = 1 , - 3,6

Passo 3

Agora que temos nossos 3 pontos, vamos achar com eles, dois vetores que chamaremos de u → = B C e v → = C A

u → = C - B = 1 , - 3,6 - 0 , - 2,5

u → = ( 1 , - 1,1 )

v → = C - A = 1 , - 3,6 - 3 , - 2 , - 1

v → = ( - 3,0 , 6 )

Passo 4

Agora vamos achar o vetor normal n → que é igual à u → × v →  

n → = u → × v → = i j k 1 - 1 1 - 3 0 6

Achando o determinante dessa matriz, ficamos com:

n → = - 6 i - 9 j - 3 k = - 6 , - 9 , - 3 = ( 2,3 , 1 )

Então, nosso plano que tem a formula

a x + b y + c z + d = 0

Onde a , b e c são os coeficientes x , y e z do nosso vetor normal, fica assim:

2 x + 3 y + z + d = 0

E para acharmos esse nosso coeficiente d vamos substituir ( x , y , z ) pelo ponto A ( 3 , - 2 , - 1 )

2 * 3 + 3 * - 2 - 1 + d = 0

d = 1

Então nosso plano tem a equação geral:

π : 2 x + 3 y + z + 1 = 0

Resposta

π : 2 x + 3 y + z + 1 = 0

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Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( 2 , 5,5 ) e ( - 6,3 , 1 ) .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é paralela ao plano x + y + z = 2 e perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t .
Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( 1 , 0 , - 2 ) e ( 3,4 , 0 ) .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t