Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 68

Mostrar que as retas

r 1 : 3 x - y - z = 0 8 x - 2 y - 3 z + 1 = 0 e r 2 : x - 3 y + z + 3 = 0 3 x - y - z + 5 = 0

São paralelas e encontrar uma equação geral do plano determinado por essas retas

Passo 1

Vamos começar analisando a reta r 1

3 x - y - z = 0 8 x - 2 y - 3 z + 1 = 0

Fazendo - 2 I + ( I I ) , temos que:

2 x - z + 1 = 0

z = 2 x + 1

Agora para achar y em função de x   vamos substituir z na primeira equação

3 x - y - 2 x + 1 = 0

y = x - 1

Colocando isso em parametrização, temos que:

r 1 : 0 , - 1,1 + λ ( 1,1 , 2 )

v 1 = ( 1,1 , 2 )

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para r 2

x - 3 y + z + 3 = 0 3 x - y - z + 5 = 0

Somando as duas equações temos:

4 x - 4 y + 8 = 0

y = x + 2

Substituindo isso na equação ( I I ) , ficamos com

3 x - x + 2 - z + 5 = 0

z = 2 x + 3

Colocando isso em parametrização, temos que:

r 2 : 0 , 2 , 3 + λ ( 1,1 , 2 )

v 2 = ( 1,1 , 2 )

Como v 1 = v 2 , podemos afirmar que as retas são paralelas!

Passo 3

Agora vamos achar a equação geral do plano, para isso vamos achar dois pontos que estejam na parametrização, com λ = 0 em r 1 e λ = 0 em r 2

λ = 0   em r 1

A = ( 0 , - 1,1 )

λ = 0   em r 2

B = ( 0,2 , 3 )

Vamos, com esses pontos, encontrar um vetor u → que vai ser o vetor A B →

u → = B - A = 0,2 , 3 - 0 , - 1,1 = ( 0,3 , 2 )

Passo 4

Agora vamos achar o vetor normal ao plano, fazendo n → = v 1 → × u →

n → = v 1 → × u → = i j k 1 1 2 0 3 2

Resolvendo a matriz, encontramos

n → = ( 4,2 , - 3 )

Então, nosso plano que tem a formula

a x + b y + c z + d = 0

Onde a , b e c são os coeficientes x , y e z do nosso vetor normal, fica assim:

4 x + 2 y - 3 z + d = 0

E para acharmos esse nosso coeficiente d vamos substituir x , y , z pelo ponto A 0 , - 1,1

4 0 + 2 - 1 - 3 1 + d = 0

d = 5

Então nosso plano tem a equação geral:

π : 4 x + 2 y - 3 z + 5 = 0

Resposta

π : 4 x + 2 y - 3 z + 5 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3
Determine a equação do plano que intercepta o eixo x em a , o eixo y em b e o eixo z em c .
( a ) Determine o ponto dado pela intersecção das retas: r 1 → = 1,1 , 0 + t 1 , - 1,2 r 2 → = 2,0 , 2 + s 1,1 , 0 ( b ) Determine a equação do plano que contém essas retas.
Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto ( - 1 , 1 2 , 3 ) e cujo vetor normal é i + 4 j + k .
Determine a equação do plano.O plano que passa pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e é perpendicular a reta x = 3 t ; y = 2 - t ; z = 3 + 4 t .