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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 62

Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes?

L 1 : x = 1 + t ,       y = t ,       z = 2 - 5 t

L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z

L 3 :   x = 1 + t ,       y =   4 + t ,       z = 1 - t

L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t 2,2 , - 10

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para saber se uma reta é paralela à outra, o produto vetorial entre seus respectivos vetores diretores deve ser zero ou um vetor deve ser um múltiplo escalar do outro. Então devemos analisar duas a duas.

Para a equação simétrica da reta 2 , vou transformar para a representação paramétrica:

x + 1 = y - 2 = 1 - z = t

Assim tiramos as três equações para L 2 :

x = - 1 + t y = 2 + t z = 1 - t

Mas antes, vou determinar aqui os vetores diretores das retas:

  • Para L 1 : v → 1 ( 1,1 , - 5 )
  • Para L 2 : v → 2 ( 1,1 , - 1 )
  • Para L 3 : v → 3 ( 1,1 , - 1 )
  • Para L 4 : v → 4 ( 2,2 , - 10 )

Passo 2

Analisando os vetores vemos que os vetores diretores das retas L 1 e L 4 são múltiplo escalar, de forma que temos v → 4 = 2 . v → 1 . Então essas duas retas são paralelas entre si.

As retas L 2 e L 3 possuem o mesmo vetor diretor, portanto, também são paralelas entre si.

Passo 3

Retas coincidentes possuem todos os pontos iguais. Vamos ver pras retas L 1 e L 4 .Igualando cada componente vemos que as retas são iguais. Isso já não acontece para as retas L 2 e L 3 . Portanto apenas as retas L 1 e L 4 são coincidentes.

Resposta

L 1 , L 4   e   L 2 , L 3   s ã o   p a r a l e l a s

L 1 ,   L 4   s ã o   c o i n c i d e n t e s

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Mostrar que as retas r 1 : 3 x - y - z = 0 8 x - 2 y - 3 z + 1 = 0 e r 2 : x - 3 y + z + 3 = 0 3 x - y - z + 5 = 0 São paralelas e encontrar uma equação geral do plano determinado por essas retas
Dadas as retas r 1 : y = - 2 x , z = x e r 2 : x = 2 - t , y = - 1 + t ,z = 4 - 2 t , determinar:O ponto P’ simétrico de P(1,0,5) em relação a reta r 1
Obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: A ( 1,2 , 1 ) e a reta interseção do plano x - 2 y + z - 3 = 0 com o plano y O z
Dadas as retas r 1 : y = - 2 x , z = x e r 2 : x = 2 - t , y = - 1 + t ,z = 4 - 2 t , determinar:O ponto O ' simétrico de O(0,0,0) em relação a reta r 2