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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 31b

Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:

x 2 - y 2 - 8 x - 4 y + 11 = 0

Passo 1

Vamos começar analisando a equação dada:

x 2 - y 2 - 8 x - 4 y + 11 = 0

Aqui temos um x e um y ao quadradado, indicando que pode ser tratar tanto de uma hipérbole, quanto de uma elipse. Isolando os termos em comum:

x 2 - 8 x - y 2 - 4 y = - 11

Como   x 2 é positivo e   y 2 negativos, o que temos aqui é uma hipérbole. Completando os quadrados, teremos:

x 2 - 8 x + 4 2 - 4 2 - y 2 + 4 y + 2 2 - 2 2 = - 11

x 2 - 8 x + 4 2 - 4 2 - y 2 + 4 y + 2 2 - ( - 1 ) 2 2 = - 11

x - 4 2 - 16 - y + 2 2 + 4 = - 11

x - 4 2 - y + 2 2 = 1

Dividindo tudo por 1 (simbolicamente):

x - 4 2 1 - y + 2 2 1 = 1

A equação de translação pode ser dada por:

x ' = ( x - 4 )

y ' = ( y + 2 )

x ' 2 - y ' 2 = 1

Passo 2

A equação da elipse é dada por:

x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1

Nossa equação é:

x - 4 2 1 - y + 2 2 1 = 1

Podemos dizer que o Eixo Maior é dado por 2 a e o menor é dado por 2 b . Se:

a 2 = a = 1

b 2 = b = 1

Então o eixo maior vale 2 e o menor vale 2.

Outra coordenada que podemos determinar é h e k que acompanham x e y na equação:

h = 4

k = - 2

Além disso, conhecemos a e b , mas desconhecemos c . O teorema de Pitágoras de uma Elipse é dado por:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 1 + 1

c 2 = 2

c = 2

Vamos agora calcular F 1,2 ; A 1,2   e   B 1,2 :

A 1,2 = ( h ∓ a , k )

B 1,2 = ( h , k ∓ b )

F 1,2 = ( h ± c , k )

Então:

A 1 = ( 3 , - 2 )

A 2 = ( 5 , - 2 )

B 1 = ( 4 , - 3 )

B 2 = ( 4 , - 1 )

F = ( 4 ± 2 , - 2 )

Passo 3

Resposta

x ' 2 - y ' 2 = 1 , hipérbole, eixo maior 2, eixo menor 2, focos F ( 4 ± 2 , - 2 )

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