Enunciado

Obter equações reduzidas na variável x , da reta:

  1. Que passa pelos pontos A ( 1 , - 2,3 ) e B ( 3 , - 1 , - 1 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

As equações paramétricas de uma reta são:

r : x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence à reta. E também temos que v → = ( a , b , c ) é o vetor paralelo à essa reta.

Então precisamos encontrar um vetor diretor pra essa reta. Esse vetor pode ser o vetor que vai do ponto A até o ponto B , então:

v → = B - A = 3 , - 1 , - 1 - 1 , - 2,3 = ( 2,1 , - 4 )

E o ponto? Bom, o ponto pode ser qualquer um que pertença à reta, aqui eu vou escolher o ponto A 1 , - 2,3 .

Assim as equações paramétricas da reta são:

r : x = 1 + 2 t y = - 2 + t z = 3 - 4 t

Mas note que ela está em termos do parâmetro t . O problema nos pede que sejam escritas as retas em função da variável x .

Passo 2

Pra resolver esse problema, vou achar quanto vale t em função de x , pra depois, nas outras equações, vou substituir. Assim vou ter as outras equações em função de x , e não de t . Sacou? Vamos lá?

Começando pela equação em x :

x = 1 + 2 t

E isolando t nela:

x - 1 = 2 t

t = x - 1 2

Beleza! Já temos o parâmetro t em função da variável x . Agora vou substituir essa expressão nas outras equações.

Passo 3

Da equação para y temos:

y = - 2 + t

E como temos t do passo anterior, substituindo vamos ter o seguinte:

y = - 2 + x - 1 2

y = - 2 + x 2 - 1 2

y = x 2 - 5 2

Tranquilo? Aqui encontramos y em função de x . Agora pegando a equação pra z e substituindo t , vamos ter z ( x ) , saca só:

z = 3 - 4 t

z = 3 - 4 x - 1 2

z = 3 - 2 ( x - 1 )

z = 3 - 2 x + 2

z = 5 - 2 x

Pronto! Agora é só reunir as equações:

z = 5 - 2 x y = x - 5 2

É isso! Temos as equações reduzidas de z e y em termos da variável x .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

z = 5 - 2 x y = x - 5 2

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Represente graficamente as retas cujas equações são:g) z = 2 y x = 3
Represente graficamente as retas cujas equações são:a) x = - 1 + t y = - 10 + 5 t z = 9 - 3 t
Represente graficamente as retas cujas equações são:e) y = 2 x z = 3
Represente graficamente as retas cujas equações são:d) x = - 1 + t y = 3 - t z = 2 t
Represente graficamente as retas cujas equações são:i) x = - 3 z = 4