Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 14
Verifique os Axiomas e com o espaço vetorial dado no Exemplo .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:
- Se e são objetos em , então é um objeto em .
- .
- Se for qualquer escalar e um objeto em , então é um objeto em .
- .
- .
- .
Lembrando que chamaremos de o conjunto do Exemplo com suas devidas operações. Portanto:
Considere que seja o conjunto das funções com valor real definidas no intervalo .
Como as funções e são reais, também é um número real.
Sendo assim, o primeiro axioma é satisfeito.
Passo 2
Agora considere:
Além disso sabemos que:
Portanto:
Estando assim satisfeito o axioma .
Passo 3
O axioma diz que tem que ser igual a . Temos que:
Uma vez que e são números reais, analogamente podemos dizer que:
Portanto:
Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.
Para mostrar que para qualquer escalar e qualquer elemento e em , temos que:
Aplicando ao problema, temos que:
Respeitando assim o axioma .
Passo 4
Vamos encontrar :
Temos também que:
Ou seja:
Satisfazendo assim o axioma .
Vamos encontrar agora
Satisfazendo assim o axioma .
Para o axioma , temos que:
Portanto o axioma é satisfeito.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)