Enunciado

Verifique os Axiomas 1 ,   2 ,   3 ,   7 ,   8 ,   9 e 10 com o espaço vetorial dado no Exemplo 6 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:

  • Se u e v são objetos em V , então u + v é um objeto em V .
  • u + v = v + u .
  • u + v + w = u + v + w
  • Se a for qualquer escalar e u um objeto em V , então k u é um objeto em V .
  • a + b u = a u + b u .
  • a b u = a b u .
  • 1 u = u .

Lembrando que chamaremos de V o conjunto do Exemplo 6 com suas devidas operações. Portanto:

Considere que V seja o conjunto das funções com valor real definidas no intervalo - ∞ , ∞ .

Como as funções f e g são reais, f x + g x também é um número real.

Sendo assim, o primeiro axioma é satisfeito.

Passo 2

Agora considere:

f + g x = f x + g x

Além disso sabemos que:

g + f x = g x + f x

Portanto:

f + g = g + f

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que f + ( g + h ) tem que ser igual a f + g + h . Temos que:

f + g + h x = f x + g x + h x

f + g + h x = f x + g x + h x

Uma vez que f x ,   g x e h x são números reais, analogamente podemos dizer que:

f + g + h x = f x + g x + h x

f + g + h x = f x + g x + h x

Portanto:

f + g + h = f + g + h

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Para mostrar que para qualquer escalar k e qualquer elemento u e v em V , temos que:

k u + v = k u + k v

Aplicando ao problema, temos que:

k f + g x = k f x + k g x

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 4

Vamos encontrar k + m f :

k + m f x = k + m f x

Temos também que:

k + m f x = k + m f x

k + m f x = k f x + m f x

Ou seja:

k + m f = k f + m f

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m f

k m f x = k m f x

k m f x = k m f x

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Para o axioma 10 , temos que:

1 f x = 1 f x

1 f x = f x

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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