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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 23

Seja a x + b y + c z + d = 0 a equação de um plano π com a b c d ≠ 0 .

(a) Determine a interseção de π com os eixos;

(b) Se P 1 = ( p 1 , 0,0 ) , P 2 = ( 0 , p 2 , 0 ) e P 3 = 0,0 , p 3 são as interseções de π com os eixos, a equação de π pode ser posta sob a forma:

x p 1 + y p 2 + z p 3 = 1

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Queremos a interseção do plano a x + b y + c z + d = 0 com os eixos.

Para isso, é só lembrar que em cada eixo, as coordenadas das outras componentes é zero.

  • Eixo x : y = z = 0 :

    • a x + b 0 + c 0 + d = 0

    a x = - d

    x = - d a

    A interseção então é o ponto - d a ,   0   0  

    Passo 2

  • Eixo y : x = z = 0 :

    • a 0 + b y + c 0 + d = 0

    b y + d = 0

    y = - d b

    A interseção então é o ponto:

    0 ,   - d b ,   0

    Passo 3

  • Eixo z : x = y = 0

a 0 + b 0 + c z + d = 0

c z + d = 0

z = - d c

A interseção então é o ponto: 0,0 , - d c .

Passo 2

b) Bom, já encontramos esses pontos. Vamos substituir na expressão que ele deu e ver se conseguimos chegar na equação do plano...

x p 1 + y p 2 + z p 3 = 1

x - d a + y - d b + z - d c = 1

- a x d - b y d - c z d = 1

- a x - b y - c z = d

- a x - b y - c z - d = 0

a x + b y + c z + d = 0

Bingo! Chegamos na equação do plano!

E encerramos por aqui! 😊

Resposta

  1. - d a ,   0   0   ,   0 ,   - d b ,   0 0,0 , - d c

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