Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 13

Os planos α e β são perpendiculares e se cortam na reta x - 2 3 = y - 1 1 = z . Uma equação de α é : a x + y - 4 z + d = 0 (a)Determine a e d . (b)Dê uma equação de β

Passo 1

Fala aeeee, pessoal! Tudo bem? 😊

Letra (a):

Para acharmos os valores de a e d , precisamos nos atentar ao detalhe de que a reta x - 2 3 = y - 1 1 = z está contida no plano α . Ou seja, os pontos que satisfazem a reta também satisfazem o plano α .

Passo 2

Os pontos

A = ( 2,1 , 0 ) e B = ( 5,2 , 1 )

são pontos pertencentes à reta e ao plano. Portanto, substituindo na equação do plano:

α : 2 a + 1 + d = 0

α : 5 a + 2 - 4 + d = 0

Podemos montar um sistema:

2 a + d = - 1 5 a + d = 2

Resolvendo o sistema:

L 2 → L 2 - L 1

L 2 : 3 a = 3

a = 1

Substituindo na L 1 :

L 1 : 2 + d = - 1

d = - 3

Assim, uma equação de α é:

α : x + y - 4 z - 3 = 0

Passo 3

Letra (b):

Os planos α e β são perpendiculares e a reta x - 2 3 = y - 1 1 = z está contida neles. Logo, o vetor normal de β será:

n β = v →   x   n α

Sendo v → = ( 3,1 , 1 ) o vetor diretor da reta e n α = 1,1 , - 4 o vetor normal ao plano α .

Portanto:

n β = d e t 3 1 1 1 1 - 4 i → j → k → = 3 k → - 4 i → + j → - ( i → - 12 j → + k → )

n β = - 5,13,2

Já que A = 2,1 , 0 ∈   β , temos que:

β :   - 5 2 + 13 1 + 2 0 + d = 0

d = - 3

Logo, a equação de β é:

β : - 5 x + 13 y + 2 z - 3 = 0

Resposta

l e t r a   a : a = 1   d = - 3

l e t r a b :   β : - 5 x + 13 y + 2 z - 3 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo A B C estão contidas, respectivamente, em r : X = - 6 ,0 ,3 + λ ( 3 ,2 ,0 ) e s : X = 0 ,0 ,3 + λ ( 3 ,- 2 ,0 ) . Sendo C = ( 4 ,- 1 ,3 ) , det
a) Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( 1 ,1 ,2 ) e é paralelo ao plano de equação x - y + 2 z + 1 = 0 b) O plano π contém P = ( 2 ,0 ,2 ) e é paralelo a π 1 : X = 2 ,5 ,0 + λ2 ,- 1
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .
Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .