a) Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( 1 ,   1 ,   2 ) e é paralelo ao plano de equação x - y + 2 z + 1 = 0

b) O plano π contém P = ( 2 ,   0 ,   2 ) e é paralelo a π 1 : X = 2 ,   5 ,   0 + λ   2 ,   - 1 ,   1 + μ   ( - 3 ,   1 ,   2 ) . Escreva uma equação geral de π cujos coeficientes tenham soma 30 .

Passo 1

Vamos fazer o item (a) primeiro. Como o plano que queremos é paralelo ao plano x - y + 2 z + 1 = 0 , sua equação deve ser do tipo

x - y + 2 z + d = 0

Basta descobrirmos o valor de d . Para isso, substituímos o ponto x ,   y ,   z = ( 1 ,   1 ,   2 ) :

1 - 1 + 2 ⋅ 2 + d = 0 ⇒ d = - 4

Portanto, a equação do plano é

x - y + 2 z - 4 = 0

Passo 2

No item (b) queremos um plano que seja paralelo ao plano

π 1 : X = 2 ,   5 ,   0 + λ   2 ,   - 1 ,   - 1 + μ   ( - 3 ,   1 ,   2 )

Para isso, lembre-se que planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Assim, vamos procurar o vetor normal de π 1 . Para isso, note que os vetores diretores são u → = ( 2 ,   - 1 ,   1 ) e v → = ( - 3 ,   1 ,   2 ) :

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 2 - 1 - 1 - 3 1 2 = - 2 + 1 i → + 3 - 4 j → + 2 - 3 k → = ( - 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Vamos usar n → = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Esse também é o vetor normal do plano π . Assim, a equação do plano π é do tipo:

x + y + z + d = 0

Como o ponto ( 2 ,   0 ,   2 ) deve pertencer ao plano:

2 + 0 + 2 + d = 0 ⇒ d = - 4

Portanto,

x + y + z - 4 = 0

A soma dos coeficientes é 1 + 1 + 1 - 4 = - 1 . Para que a soma seja 30 , multiplicamos a equação por - 30 :

- 30 x - 30 y - 30 z + 120 = 0

Resposta

x - y + 2 z - 4 = 0

- 30 x - 30 y - 30 z + 120 = 0

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