a) Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( 1 ,1 ,2 ) e é paralelo ao plano de equação x - y + 2 z + 1 = 0 b) O plano π contém P = ( 2 ,0 ,2 ) e é paralelo a π 1 : X = 2 ,5 ,0 + λ2 ,- 1 ,1 + μ( - 3 ,1 ,2 ) . Escreva uma equação geral de π cujos coeficientes tenham soma 30 .

x - y + 2 z - 4 = 0 - 30 x - 30 y - 30 z + 120 = 0

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 10

a) Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto e é paralelo ao plano de equação

b) O plano contém e é paralelo a . Escreva uma equação geral de cujos coeficientes tenham soma .

Passo 1

Vamos fazer o item (a) primeiro. Como o plano que queremos é paralelo ao plano , sua equação deve ser do tipo

Basta descobrirmos o valor de . Para isso, substituímos o ponto :

Portanto, a equação do plano é

Passo 2

No item (b) queremos um plano que seja paralelo ao plano

Para isso, lembre-se que planos paralelos têm o mesmo vetor normal. Assim, vamos procurar o vetor normal de . Para isso, note que os vetores diretores são e :

Vamos usar . Esse também é o vetor normal do plano . Assim, a equação do plano é do tipo:

Como o ponto deve pertencer ao plano:

Portanto,

A soma dos coeficientes é . Para que a soma seja , multiplicamos a equação por :

Resposta

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Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .

Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ1 ,1 ,0 + μ( 2 ,- 1 ,m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.

Dados pi_1 : X = (1 , - 2 , 0) + lambda (1 , 0 , - 1) + mu ( 0 , 0 , - 1 ) e pi_2 : X = (1 , 0 , 3) + lambda (1 , 2 , 0) + mu ( - 1 , 1 , - 1 ) , obtenha uma equação vetorial de pi_1 nn pi_2 .

a) Prove que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de A = ( 1 ,- 1 ,2 ) e B = ( 4 ,3 ,1 ) é um plano.b) Prove que o plano do item (a) é perpendicular ao segmento A B e contém o seu ponto

Obtenha uma equção geral do plano que contém π 1 ∩ π 2 e é perpendicular a π 3 , sendo π 1 : x - y + z + 1 = 0 , π 2 : x + y - z - 1 = 0eπ 3 : x + y + 2 z - 2 = 0