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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 9

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:

a) π contém A = ( 1 ,   1 ,   1 ) , B = ( 1 ,   0 ,   1 ) e C = ( 1 ,   2 ,   3 ) .

b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .

c) π : X = 1 ,   2 ,   0 + λ   1 ,   - 1 ,   1 + μ   ( 0 ,   1 ,   - 2 ) .

Passo 1

Queremos achar, em cada caso, o vetor normal ao plano π . No item, vamos achar primeiro os vetores diretores:

u → = A B → = B - A = 1 ,   0 ,   1 - 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

v → = A C → = C - A = 1 ,   2 ,   3 - 1 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   2 )

O vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores diretores:

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 0 - 1 0 0 1 2 = - 2 - 0 i → + 0 - 0 j → + 0 - 0 k → = - 2 i → = ( - 2 ,   0 ,   0 )

Como só estamos interessados na direção, vamos escolher

n → = ( 1 ,   0 ,   0 )

Passo 2

No item (b) a brincadeira é mais fácil ainda. Basta lembrar que sempre que a equação de um plano é dada na forma

a x + b y + c z + d = 0

o vetor normal é dado por

n → = ( a ,   b , c )

Nessa caso, x - 2 y + 4 z + 1 = 0 :

n → = ( 1 ,   - 2 ,   4 )

Passo 3

No item (c), temos a equação

X = 1 ,   2 ,   0 + λ   1 ,   - 1 ,   1 + μ   ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Assim, os vetores diretores são

u → = 1 ,   - 1 ,   1               e               v → = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Portanto,

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 1 - 1 1 0 1 - 2 = 2 - 1 i → + 0 + 2 j → + 1 - 0 k → = ( 1 ,   2 ,   1 )

Resposta

( 1 ,   0 ,   0 )

( 1 ,   - 2 ,   4 )

( 1 ,   2 ,   1 )

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