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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 11

O vetor ( 1 ,   1 ,   m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .

Passo 1

Bom, vamos obter primeiro a equação da intersecção planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . A equação do plano O y z é x = 0 , de modo que procuramos a intersecção:

x - y + z + 1 = 0 x = 0

Obtemos então

- y + z + 1 = 0 ⇒ y = z + 1

Portanto,

x ,   y ,   z = 0 ,   z + 1 ,   z = 0 ,   1 ,   0 + z   ( 0 ,   1 ,   1 )

Como esperado, a intersecção dos planos é uma reta, cujo vetor diretor é ( 0 ,   1 ,   1 ) . Como essa reta está contida no plano π , esse vetor pode ser tomado com um dos vetores diretores do plano π :

u → = ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 2

Sabemos também que o vetor normal   n → = ( 1 ,   1 ,   m ) deve ser ortogonal a qualquer vetor do plano, de modo que

n → ⋅ u → = 0 ⇒ 1 ,   1 ,   m ⋅ 0 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ 1 + m = 0 ⇒ m = - 1

Passo 3

Agora já temos o vetor normal do plano π :

n → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Assim, a equação geral do plano é do tipo

x + y - z + d = 0

Precisamos de um ponto que pertença ao plano para achar d e terminar o exercício. Vimos que a reta

X = 0 ,   1 ,   0 + λ   ( 0 ,   1 ,   1 )

está contida no plano, assim como todos os seus pontos. Vamos escolher um ponto qualquer tomando λ = 0 :

( 0 ,   1 ,   0 )

Substituindo esse ponto na equação do plano:

0 + 1 - 0 + d = 0 ⇒ d = - 1

Portanto, uma equação para o plano π é

x + y - z - 1 = 0

Resposta

m = - 1

x + y - z - 1 = 0

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Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ 1 ,1 ,0 + μ ( 2 ,- 1 ,m ) .
Obtenha um plano π , paralelo a π 1 : x - y + 3 z - 20 = 0 , que satisfaz a condição especificada em cada caso (o sistema de coordenadas é ortogonal).a) π intercepta o eixo O z em um ponto que dista 6
Estude a posição relativa dos planos π 1 e π 2 .d) π 1 : x - y + 2 z - 2 = 0π 2 : X = 0 ,0 ,1 + λ 1 ,0 ,3 + μ ( - 1 ,1 ,1 )
Mostre que os planos π 1 :x = - λ + 2 μ y = m λ z = λ + μπ 2 :x = 1 + m λ + μ y = 2 + λ z = 3 + m μ São transversais, qualquer que seja o número real m .
As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t - 1 , - 1 , - 1 , t ∈R , descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?