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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 41c

O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B , C e D . Sendo A A ' uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A ' nos seguintes casos:

A - 1,2 , 3 , B 2 , - 1,0 , C 3,1 , 4 e D - 2,0 , 5

Passo 1

Primeiro vamos visualizar os pontos A , B , C , D e A ' , onde o ponto A é um dos vértices do paralelepípedo, os três vértices adjacentes são B , C e D , e A ' pertence a A A ' , que é uma diagonal do paralelepípedo:

Vamos ver agora os vetores A B → , A C → , A D →   e A A ' → :

Passo 2

Podemos ver pela imagem acima que dá pra achar o ponto A ' através do vetor A A ' , vamos então mover os vetores A C → e A D → de forma que A C → = B E → e A D → = E A ' , assim vamos achar uma maneira de achar A A ' → :

Agora dá pra ver que a diagonal pode ser calculada somando os vetores A B → , A C → e A D → , vamos calcular:

A A ' → = A B → + B E → + E A ' → = A B → + A C → + A D →

A B → = B - A = 2 , - 1,0 - - 1,2 , 3 = 2 - - 1 , - 1 - 2 , 0 - 3 = 3 , - 3 , - 3

A C → = C - A = 3,1 , 4 - - 1,2 , 3 = 3 - - 1 , 1 - 2 , 4 - 3 = 4 , - 1 , 1

A D → = D - A = - 2,0 , 5 - - 1,2 , 3 = - 2 - - 1 , 0 - 2 , 5 - 3 = - 1 , - 2 , 2

Passo 3

Vamos agora substituir:

A A ' → = A B → + A C → + A D → = 3 , - 3 , - 3 + 4 , - 1,1 + - 1 , - 2,2 =

= 3 + 4 - 1 , - 3 - 1 - 2 , - 3 + 1 + 2 = 6 , - 6 , 0

Agora vamos achar o ponto A ' :

A A ' → = A ' - A

A A ' → = 6 , - 6,0 → A ' - A = 6 , - 6,0 → A ' = 6 , - 6,0 + A →

→ A ' = 6 , - 6,0 + - 1,2 , 3 → A ' = 6 - 1 , - 6 + 2 , 0 + 3 → A ' = 5 , - 4 , 3

Pronto, temos então o ponto A ' = 5 , - 4,3 .

Resposta

A ' = 5 , - 4,3

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O conjunto z dos pontos cujas coordenadasx , y cumprem as condições x0 ey ≥ 1 x é convexo.
O conjunto W dos pontos cujas coordenadas x , y cumprem y ≥ x 2 é convexo.
Seja P : R 2 →R 2 a projeção ortogonal sobre a reta y = A x . Dado o vetor V = x , y , mostre que se tem P . v = 0 se, e somente se, y = - 1 a x . Se w = x ' , y ' , sob que condições tem-se P v = P w
Quais dos seguintes vetores são paralelos U = (6, −4, −2), V = (−9, 6, 3), W = (15, −10, 5).