Mostre que o ponto P = ( 4 ,1 ,- 1 ) não pertence à reta r : X = 2 ,4 ,1 + λ ( 1 ,- 1 ,2 ) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 39

Mostre que o ponto não pertence à reta e obtenha uma equação geral do plano determinado por e .

Passo 1

Para que o ponto pertença à reta , deve existir um número tal que:

Então vamos ver se existe esse número ok?:

Somando os dois vetores:

Igualando as coordenadas:

Da primeira equação, temos

Porém na segunda equação temos e na terceira temos .

Eita, encontramos 3 valores diferentes para D: isso quer dizer que não existe um que satisfaça nossa equação e portanto o ponto não pertence à reta :/

Passo 2

O plano que queremos passa pelos pontos e por (pois é um ponto da equação da reta) e ele tem vetor diretor e .

Como queremos a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal dele, que vai ser dado pelo produto vetorial dos seus vetores diretores.

Sabemos que , então:

Então, a equação desse plano é escrita no formato

Para encontrarmos , vamos substituir o ponto ou nessa equação. Substituindo :

Então, a equação desse plano é

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .

O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .

Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .

Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ1 ,1 ,0 + μ( 2 ,- 1 ,m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.