Mostre que o ponto P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) não pertence à reta r : X = 2 ,   4 ,   1 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P .

Passo 1

Para que o ponto P pertença à reta r , deve existir um número λ tal que:

4 ,   1 ,   - 1 = 2 ,   4 ,   1 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Então vamos ver se existe esse número ok?:

4 ,   1 ,   - 1 = 2 ,   4 ,   1 + ( λ ,   - λ ,   2 λ )

Somando os dois vetores:

4 ,   1 ,   - 1 = ( 2 + λ ,   4 - λ ,   1 + 2 λ )

Igualando as coordenadas:

2 + λ = 4 4 - λ = 1 1 + 2 λ = - 1

Da primeira equação, temos

λ = 4 - 2 = 2

Porém na segunda equação temos λ = 3 e na terceira temos λ = - 1 .

Eita, encontramos 3 valores diferentes para λ D: isso quer dizer que não existe um λ que satisfaça nossa equação e portanto o ponto P não pertence à reta r :/

Passo 2

O plano que queremos passa pelos pontos P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e por A = ( 2 ,   4 ,   1 ) (pois é um ponto da equação da reta) e ele tem vetor diretor ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e A P → .

Como queremos a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal dele, que vai ser dado pelo produto vetorial dos seus vetores diretores.

Sabemos que A P → = P - A = ( 2 ,   - 3 ,   - 2 ) , então:

n → = 1 ,   - 1 ,   2 ∧ 2 ,   - 3 ,   - 2 = ( 8 ,   6 ,   - 1 )

Então, a equação desse plano é escrita no formato

8 x + 6 y - z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto P ou A nessa equação. Substituindo A :

8 . 2 + 6 . 4 - 1 + d = 0

d = - 39

Então, a equação desse plano é

8 x + 6 y - z - 39 = 0

Resposta

8 x + 6 y - z - 39 = 0

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