Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano

4) mediador do segmento de extremos A ( 1 , - 2 ,   6 ) e B ( 3 ,   0 ,   0 ) ;

Passo 1

Neste problema, o nosso desafio é determinar a equação geral do plano mediador do segmento de extremos A ( 1 , - 2 ,   6 ) e B ( 3 ,   0 ,   0 ) , certo?

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Vamos começar dando nome aos bois..., chamaremos de P o ponto médio pertencendo ao plano mediador e A B → um vetor normal a este plano.

Calculando P , temos:

A P → = P B →

P - A = B - P

2 P = B + A

P = B + A 2 = 1 , - 2 ,   6 + 3 ,   0 ,   0 2

P = ( 2 , - 1 ,   3 )

Passo 3

Como já foi falado o vetor normal ao plano é dado por:

A B → = B - A

A B → = 3 ,   0 ,   0 - 1 , - 2 ,   6 = ( 2 ,   2 , - 6 )

Já a equação geral do plano π é dada por a x + b y + c z + d = 0 , sendo ( a , b , c ) o vetor normal.

Logo, a equação do plano é do tipo:

2 x + 2 y - 6 z + d = 0

Passo 4

Por fim, como o ponto P = ( 2 , - 1 ,   3 ) pertence ao plano, suas coordenadas devem verificar a equação acima, isto é:

2 2 + 2 - 1 - 6 ( 3 ) + d = 0

4 - 2 - 18 + d = 0

d = 16

Portanto, a equação do plano π é: 2 x + 2 y - 6 z + 16 = 0 .

Escrevendo mais bonitinho, ou seja, multiplicando geral por 1 2 , temos:

x + y - 3 z + 8 = 0

Fechou? 😉

Resposta

x + y - 3 z + 8 = 0

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