Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 11

Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:

11) A 2,1 , 3 , B - 3 , - 1,3 ,   C ( 4,2 , 3 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né?Sendo assim, vou te relembrar do eu será preciso para cada equação do plano.

Para escrever um sistema de equações paramétricas do plano precisamos de dois vetores diretores do plano e de um ponto. O sistema de equações é:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Onde a 1 , b 1 , c 1 e a 2 , b 2 , c 2 são os vetores e x 0 , y 0 , z 0 é o ponto.

Já para determinar uma equação geral precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor que seja ortogonal. A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia para resolver essa questão é a seguinte:

  • A partir dos pontos, determinar dois vetores diretores do plano e escolhendo um dos pontos, escrever as equações paramétricas do plano;
  • Depois, com os mesmos dois vetores diretores, fazer um produto vetorial entre eles, e assim determinar um vetor ortogonal ao plano, que é necessário pra gente escrever a equação geral. E o ponto? Pode ser qualquer um dos três que foram dados =)

Beleza? Então a partir de agora, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Dos pontos A 2 , 1,3 , B - 3 , - 1,3 ,   C ( 4,2 , 3 ) , vamos encontrar dois vetores: um indo de A até B e outro indo de A até C :

A B - = B - A = - 3 , - 1,3 - 2,1 , 3 = ( - 5 , - 2,0 )

A C - = C - A = 4,2 , 3 - 2,1 , 3 = ( 2,1 , 0 )

Tranquilo?

Passo 3

E agora escolhendo o ponto A ( 2 , 1,3 ) e com os dois vetores do passo anterior, já podemos escrever as equações paramétricas:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Agora é só substituir:

x = 2 - 5 h + 2 t y = 1 - 2 h + 1 t z = 3

Beleza? Agora vamos para a equação geral?

Passo 4

Bom, vamos resgatar os dois vetores que achamos no passo 2 :

A B - = ( - 5 , - 2,0 )

A C - = ( 2,1 , 0 )

E como esses dois vetores são paralelos ao plano, se fizermos o produto vetorial entre eles, vamos ter um vetor ortogonal ao plano. E é dele que precisamos para equacionar esse plano. Fazendo o produto vetorial:

A B - × A C - = i ^ j ^ k ^ - 5 - 2 0 2 1 0 = i ^ 0 + j ^ 0 + k ^ ( - 5 + 4 )

= ( 0,0 , - 1 )

Passo 5

Agora usando o vetor ortogonal a , b , c = ( 0,0 , - 1 ) e escolhendo o ponto A 2,1 , 3 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) podemos escrever a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

0 x - 2 - 0 y - 1 - 1 z - 3 = 0

- z + 3 = 0

E vou multiplicar por ( - 1 ) só para ficar mais bonitinho, mas é firula pessoal, pode deixar assim que também está certinho! Assim a equação geral do plano fica:

z - 3 = 0

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x = 2 - 5 h + 2 t y = 1 - 2 h + 1 t z = 3

z - 3 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados: A 3 , - 2 , - 1e r : x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y - z + 7 = 0
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano3) perpendicular à reta r : x = 2 y - 3 z = - y + 1 e que contém o ponto A 1 ,2 ,3 ;
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano6) paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A ( 0 ,3 ,1 ) e B ( 2 ,0 ,- 1 ) ;
Seja o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 Calcular:a) O ponto π que tem abscissa 4 e ordenada 3;
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano5) mediador do segmento de extremos A ( 5 , - 1 ,4 ) e B ( - 1 ,- 7 ,1 ) ;