Dada a equação geral do plano π :   3 x - 2 y - z - 6 = 0 , determinar um sistema de equações paramétricas de π .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para escrever as equações paramétricas de um plano precisamos de dois vetores diretores do plano e mais um ponto que pertença a ele. As equações são:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Beleza?

Passo 2

Primeiro precisamos de três pontos desse plano. Um ponto pode ser quando fazemos x = y = 0 na equação do plano teremos:

- z - 6 = 0

z = - 6

Daí o ponto é A ( 0 , 0 , - 6 ) . Outro ponto poderia ser x = 0 , y = 1 daí temos:

- 2 - z - 6 = 0

z = - 8

E esse ponto é B ( 0 , 1 , - 8 ) . E um terceiro ponto seria com x = 1 ,   y = 0 e daí:

3 - z - 6 = 0

z = - 3

Daí o terceiro ponto é C ( 1 , 0 , - 3 ) . Agora dois vetores diretores desse plano pode ser A B - e A C - :

A B - = B - A = 0,1 , - 8 - 00 , - 6 = ( 0,1 , - 2 )

A C - = C - A = 1,0 , - 3 - 0,0 , - 6 = ( 1,0 , 3 )

Tranquilo?

Passo 3

E agora com os dois vetores diretores, podemos escolher um dos pontos. Aqui vou escolher o A por uma questão de simplicidade, mas poderia ser outro qualquer =D.

Passo 4

Reunindo as informações que calculamos temos:

x 0 , y 0 , z 0 = 0,0 - 6

a 1 , b 1 , c 1 = ( 0,1 , - 2 )

a 2 , b 2 , c 2 = ( 1,0 , 3 )

E agora é só substituir na equação paramétrica do plano:

π : x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Substituindo os valores vamos ter o seguinte:

π : x = t y = h z = - 6 - 2 h + 3 t

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

π : x = t y = h z = - 6 - 2 h + 3 t

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