Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 17
Considere as retas e . Sejam o ponto de interseção de com o plano , e e , respectivamente, os pontos que intercepta e . Calcule a área do triângulo , nos casos:
a)
b)
c)
Passo 1
Note que os pontos e não dependem dos itens do problema. Assim, vamos achar eles primeiro...
A reta pode ser escrita como
O ponto é a interseção da reta com o plano (). Fazendo , obtemos . Assim, :
Para achar , fazemos , pois se trata da interseção com o plano . Assim, . Logo,
Agora em cada caso do problema, temos que achar para depois procurar a área do triângulo !
Passo 2
No item (a), o ponto é dado pelo sistema
Como , a última equação vira
Substituindo na primeira:
Logo,
Para calcular a área do triângulo, fazemos primeiro
Calculando o produto vetorial:
Assim,
A área do triângulo é
Assim,
Passo 3
No item (b), temos que resolver
Como , temos que a segunda equação vira
Assim,
Nesse caso, não existe um ponto de encontro entre a reta e o plano , já que o sistema não tem solução. Geometricamente isso acontece pois é paralela a .
Passo 4
Por fim, no item (c), temos que resolver
Como , temos que
Note que as duas equações são iguais: o sistema é indeterminado! Isso significa que a reta está contida no plano e existem infinitos pontos de interseção. Neste caso também não é possível calcular a área do triângulo...
Resposta
Apenas no item (a) existe o triângulo!