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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 28

Sejam A = ( 2 ,   1 ,   1 ) , B = ( - 1 ,   0 ,   1 ) , C = ( 0 ,   2 ,   1 ) e π : X = 2 ,   4 ,   0 + α   - 1 ,   1 ,   1 + β   ( - 2 ,   - 1 ,   0 ) . Prove que o lugar geométrico dos pontos X do plano π tais que o tetraedro tem volume 1 é uma reunião de duas retas paralelas, contidas em π ; obtenha equações vetoriais dessas retas.

Passo 1

Bom, um ponto X = ( x ,   y ,   z ) genérico contido em π é dado por

x ,   y ,   z = 2 - α - 2 β ,   4 + α - β ,   α

Assim,

x = 2 - α - 2 β y = 4 + α - β z = α ⇒ x = 2 - z - 2 β y = 4 + z - β

Da segunda equação:

β = 4 + z - y

Substituindo na primeira

x = 2 - z - 2 ⋅ 4 + z - y = 2 - z - 8 - 2 z + 2 y

Logo,

x = - 6 - 3 z + 2 y

Portanto,

X = ( 2 y - 3 z - 6 ,   y ,   z )

Passo 2

Para achar o volume do tetraedro A B C X , temos que achar os vetores   A B → ,   A C → e   A X → :

A B → = B - A = ( - 3 ,   - 1 ,   0 )

A C → = C - A = ( - 2 ,   1 ,   0 )

A X → = X - A = ( 2 y - 3 z - 8 ,   y - 1 ,   z - 1 )

Calculando o produto misto:

A B → ,   A C → ,   A X → = - 3 - 1 0 - 2 1 0 2 y - 3 z - 8 y - 1 z - 1

Assim,

A B → ,   A C → ,   A X → = z - 1 ⋅ - 3 - 2 = 5 - 5 z

O volume do tetraedro é dado por

V = 1 6   A B → ,   A C → ,   A X → ⇒ A B → ,   A C → ,   A X → = 6

Portanto,

5 - 5 z = 6 ⇒ 5 - 5 z = 6                 o u             5 - 5 z = - 6

Assim,

z = - 1 5                 o u             z = 11 5

Passo 3

Lembrando que X = ( 2 y - 3 z - 6 ,   y ,   z ) , para z = - 1 / 5 :

X = 2 y + 3 5 - 6 ,   y ,   - 1 5 = 2 y - 27 5 ,   y ,   - 1 5 = - 27 5 ,   0 ,   - 1 5 + y   ( 2 ,   1 ,   0 )

Assim,a equação da primeira reta é

X = - 27 5 ,   0 ,   - 1 5 + λ   ( 2 ,   1 ,   0 )

Já para a segunda reta, usamos z = 11 / 5 :

X = 2 y - 33 5 - 6 ,   y , 11 5 = - 63 5 ,   0 , 11 5 + y   ( 2 ,   1 ,   0 )

Assim, a equação da reta é

X = - 63 5 ,   0 , 11 5 + λ   2 ,   1   0

Essas respostas diferem do gabarito ao final do livro, mas elas representam a mesma reta, eu juro!

Resposta

X = - 27 5 ,   0 ,   - 1 5 + λ   ( 2 ,   1 ,   0 )

X = - 63 5 ,   0 , 11 5 + λ   2 ,   1   0

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