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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 30

O plano π contém r : x - y = x + z - 1 = 0 e determina, com os planos coordenados, um tetraedro de volume 1 / 12 . Obtenha os vértices do tetraedro e uma equação geral de π .

Passo 1

Vamos olhar primeiro para a reta r :

x - y = 0 x + z - 1 = 0

Assim

y = x                     e               z = 1 - x

Portanto, os pontos ( x , y ,   z ) sobre a reta r deve satisfazer

x ,   y ,   z = x ,   x ,   1 - x = 0 ,   0 ,   1 + x   ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Assim, o vetor normal ao plano n → = a ,   b ,   c deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta u → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) , já que ela está contida no plano:

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   1 ,   - 1 = 0 ⇒ a + b - c = 0 ⇒ c = a + b

Logo,

n → = ( a ,   b ,   a + b )

Assim, a equação do plano pode ser escrita como

a x + b y + a + b z + d = 0

Além disso, o ponto ( 0 ,   0 ,   1 ) está contido na reta e, consequentemente, está contido no plano. Substituindo ele na equação do plano:

0 + 0 + a + b + d = 0 ⇒ d = - ( a + b )

Portanto, a equação do plano é do tipo

a x + b y + a + b z - a + b = 0

Passo 2

Os vértices desses tetraedro serão a origem e as interseções com os eixos coordenados. Fazendo x = y = 0 , obtemos

z V = 1

Fazendo x = z = 0 , obtemos

y V = a + b b

Fazendo y = z = 0 , obtemos

x V = a + b a

Os vértices são

O = 0 ,   0 ,   0 ,             A = x V ,   0 ,   0 ,               B = 0 ,   y V ,   0             e               C = 0 ,   0 ,   z V

O volume do tetraedro é

V o l = 1 6 O A → ,   O B → ,   O C →

Calculando o produto misto:

O A → ,   O B → ,   O C → = x V 0 0 0 y V 0 0 0 z V = x V y V z V

Assim, como V o l = 1 / 12 :

1 12 = 1 6 ⋅ x V y V z V ⇒ x V y V z V = ± 1 2

Passo 3

Logo,

a + b 2 a b = ± 1 2

Para ficar mais fácil a resolução dessa equação, vamos escrever b = k a :

a 2   1 + k 2 a 2 ⋅ k = ± 1 2 ⇒ 1 + k 2 k = ± 1 2

Assim,

1 + 2 k + k 2 = ± k 2 ⇒ 2 + 4 k + 2 k 2 = ± k

Obtemos então duas equações:

2 k 2 + 3 k + 2 = 0                         o u                           2 k 2 + 5 k + 2 = 0

A primeira equação não tem soluções real. Já a segunda tem duas soluções negativas:

k = - 2               o u             k = - 1 2

Assim,

b = - 2 a               o u             b = - 1 2 a ⇒ a = - 2 b

No primeiro caso,

x V = a + b a = a - 2 a a = - 1

y V = a + b b = a - 2 a - 2 a = 1 2

Nessa situação, os vértices são

O = 0 ,   0 ,   0 ,             A = - 1 ,   0 ,   0 ,               B = 0 , 1 2 ,   0             e               C = 0 ,   0 ,   1

A equação do plano fica

a x - 2 a y - a z + a = 0 ⇒ x - 2 y - z + 1 = 0

Já no segundo caso com a = - 2 b , temos que

x V = a + b a = - 2 b + b - 2 b = 1 2

y V = a + b b = - 2 b + b b = - 1

Nessa situação, os vértices são

O = 0 ,   0 ,   0 ,             A = 1 2 ,   0 ,   0 ,               B = 0 , - 1 ,   0             e               C = 0 ,   0 ,   1

Já a equação do plano é

- 2 b x + b y - b z + b = 0 ⇒ 2 x - y + z - 1 = 0

Resposta

O = 0 ,   0 ,   0 ,             A = - 1 ,   0 ,   0 ,               B = 0 , 1 2 ,   0 ,               C = 0 ,   0 ,   1           e             x - 2 y - z + 1 = 0

O = 0 ,   0 ,   0 ,             A = 1 2 ,   0 ,   0 ,               B = 0 , - 1 ,   0 ,               C = 0 ,   0 ,   1               e           2 x - y + z - 1 = 0

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