Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada.

3 x 2 - y 2 + 18 x + 18 = 0

Passo 1

E aí, tudo belezinha?

Cê lembra como é a forma das paramétricas da hipérbole?

Tem dois casos:

  • Eixo paralelo ao eixo x : a equação reduzida é da forma: x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2
  • e aí as paramétricas vão ser:

    x = h + a sec ⁡ θ y = k + t g   θ

  • Eixo paralelo ao eixo y : a equação reduzida é da forma: y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2

e aí as equações paramétricas vão ser da forma:

x = h + b   t g   θ y = k + a sec ⁡ θ  

Dito isso, a gente pode começar a caminhar...

Passo 2

Voltando pra nossa equação do início...

3 x 2 - y 2 + 18 x + 18 = 0

Ela não tá na forma reduzida né?

Vamos fazer aquele esqueminha de completar os quadrados, beleza?

3 x 2 + 6 x - y 2 = - 18

3 x 2 + 6 x + 9 ⏟ - 9 - y 2 = - 18

3 x + 3 2 - 27 - y 2 = - 18

3 x + 3 2 - y 2 = 9

3 x + 3 2 9 - y 2 9 = 9 9

x + 3 2 3 - y 2 9 = 1

Passo 3

Prontinho! Temos a equação reduzida, e daqui tiramos que o centro é ( - 3,0 ) , o eixo é paralelo ao eixo x e ainda a = 3   e     b = 3 .

Agora é só montar as paramétricas:

x = - 3 + 3 sec ⁡ θ y = 3   t g   θ

Prontinho! 😉

Resposta

x = - 3 + 3 sec ⁡ θ y = 3   t g   θ

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