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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 48

Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada.

9 x 2 - 25 y 2 - 18 x - 50 y - 241 = 0

Passo 1

E aí, tudo belezinha?

Cê lembra como é a forma das paramétricas da hipérbole?

Tem dois casos:

  • Eixo paralelo ao eixo x : a equação reduzida é da forma: x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2

    • e aí as paramétricas vão ser:

    x = h + a sec ⁡ θ y = k + t g   θ

  • Eixo paralelo ao eixo y : a equação reduzida é da forma: y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2

e aí as equações paramétricas vão ser da forma:

x = h + b   t g   θ y = k + a sec ⁡ θ  

Dito isso, a gente pode começar a caminhar...

Passo 2

Voltando pra nossa equação do início...

9 x 2 - 25 y 2 - 18 x - 50 y - 241 = 0

Ela não tá na forma reduzida né?

Vamos fazer aquele esqueminha de completar os quadrados, beleza?

9 x 2 - 2 x - 25 y 2 + 2 y = 241

9 x 2 - 2 x + 1 ⏟ - 1 - 25 y 2 + 2 y + 1 ⏟ - 1 = 241

9 x - 1 2 - 9 - 25 y + 1 2 + 25 = 241

9 x - 1 2 - 25 y + 1 2 = 225

9 225 x - 1 2 - 25 225 y + 1 2 = 225 225

x - 1 2 9 - y + 1 2 25 = 1

Passo 3

Prontinho! Temos a equação reduzida, e daqui tiramos que o centro é ( 1 , - 1 ) , o eixo é paralelo ao eixo x e ainda a = 5   e     b = 3 .

Agora é só montar as paramétricas:

x = 1 + 3 sec ⁡ θ y = - 1 + 5 t g   θ

Prontinho! 😉

Resposta

x = 1 + 3 sec ⁡ θ y = - 1 + 5 t g   θ

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Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Focos F 1 ( - 1 , - 5 ) e F 2 ( 5 , - 5 ) , hibérbole equilátera.
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices em ( 5 , - 2 ) e ( 3 , - 2 ) , um foco em ( 7 , - 2 ) .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices em ( 5,5 ) e ( 5 , - 1 ) , excentricidade e = 2 .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( 2 , - 3 ) , eixo real paralelo a 0 y , passando por ( 3 , - 1 ) e ( - 1,0 ) .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( - 2 , 1 ) , eixo real paralelo a 0 x , passando por ( 0 , 2 ) e ( - 5,6 ) .