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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 50

Nos problemas 50 a 53, obter uma equação geral da hipérbole dada por equações paramétricas. Esboçar o gráfico.

x = 4 sec ⁡ θ y = 2   t g   θ

Passo 1

E aí, tudo belezinha?

Vamos relembrar como são as paramétricas:

  • Eixo paralelo ao eixo x : a equação reduzida é da forma: x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2

    • e aí as paramétricas vão ser:

    x = h + a sec ⁡ θ y = k + t g   θ

  • Eixo paralelo ao eixo y : a equação reduzida é da forma: y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2

e aí as equações paramétricas vão ser da forma:

x = h + b   t g   θ y = k + a sec ⁡ θ  

Daí a gente pode fazer o caminho reverso...

Passo 2

A gente tem:

x = 4 sec ⁡ θ y = 2   t g   θ

Daí, com as relações do passo 1 , a gente conclui que essa hipérbole tem:

e i x o   p a r a l e l o   a o   x

c e n t r o = ( 0,0 )

a = 4

b = 2

Juntando os ingredientes acima, escrevemos nossa equação reduzida:

x 2 4 2 - y 2 2 2 = 1

x 2 16 - y 2 4 = 1

Passo 3

Só que o problema não quer a equação reduzida, e sim a geral! (ô cara exigente hein?!)...

Então vamos desenvolver essa equação:

x 2 16 - 4 y 2 16 = 1

x 2 - 4 y 2 = 16

x 2 - 4 y 2 - 16 = 0

Agora sim! Essa é a equação geral da hipérbole!

Passo 4

Nos falta agora esboçar o gráfico, que vai ficar assim:

E agora acabamos! :D

Resposta

x 2 - 4 y 2 - 16 = 0

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Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações: 9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 45 = 0
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