Nos problemas 47 e 48, determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:

π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0           π 2 : x + y - z - 3 = 0

Passo 1

Nesse caso, nós temos as equações paramétricas, e não as equações reduzidas. A primeria coisa que faremos é montar um sisteminha de equações :

2 x - y - 3 z - 5 = 0 x + y - z - 3 = 0

Uma forma de reduzir os termos desse sitema, e deixar tudo em função de um dos termos (no caso, escolheremos x ). Vamos começar eliminando y , para fazer isso, somamos as equações:

2 x - y - 3 z - 5 + x + y - z - 3 = 0

3 x - 4 z - 8 = 0

3 x - 8 = 4 z

3 x 4 - 2 = z

Dessa forma, conseguimos escrever z em função de x , o próximo passo é escrever y em função de x .

Passo 2

Para escrever y em função de x devemos eliminar a incógnita z do sistema, podemos fazer isso multiplicando a equação de baixo por - 3 :

2 x - y - 3 z - 5 = 0 x + y - z - 3 = 0

Multiplicando por - 3 , teremos:

2 x - y - 3 z - 5 = 0 - 3 x - 3 y + 3 z + 9 = 0

Somando as duas equações, teremos:

2 x - y - 3 z - 5 + - 3 x - 3 y + 3 z + 9 = 0

x - 4 y + 4 = 0

- x + 4 + 4 y

y = 1 - x 4

Passo 3

Veja bem, já encontramos as equações em termos de x , temos que mudar o parâmetro para x , e arbitrariamente chamaremos x = t e por consequência o nosso sistema de solução será dado por:

x = t y = - t 4 + 1 z = 3 t 4 - 2

Basicamente a nossa solução é essa, mas como tanto na equação y quanto z tem a função t divida por 4, então, para simplificar vamos chamar x = 4 t para deixar a resposta sem frações:

x = 4 t y = - t + 1 z = 3 t - 2

Resposta

x = 4 t y = - t + 1 z = 3 t - 2

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