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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 21

Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   M ( 2,2 ) → R 2 ,         T a b c d = ( a - b ,   a + b )

Passo 1

A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear T .

O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos

T a b c d = ( 0,0 )

Fazendo isso, obtemos o sistema

a - b = 0 a + b = 0

Esse sistema tem uma única solução que é a = b = 0 . Desta forma, um elemento genérico do núcleo é da forma:

0 0 c d = c   0 0 1 0 + d   0 0 0 1

Assim, o núcleo tem dimensão 2 e é dado por

N T =   0 0 1 0 ,   0 0 0 1

Como dim ⁡ N ( T ) = 2 ≠ 0 , T não é injetora.

Passo 2

Agora vamos procurar a imagem de T . Para isso:

T a b c d = a - b ,   a + b = a 1 ,   1 + b ( - 1 ,   1 )

Assim, vemos que imagem de T é gerada pelo conjunto B = 1 ,   1 ,   ( - 1 ,   1 ) . Pelo teorema da dimensão:

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ M ( 2 ,   2 ) = 4

Como dim ⁡ N ( T ) = 2 , segue que

dim ⁡ I m T = 2

Como a dimensão da imagem de T é dois e o conjunto gerador B tem dois elementos, ele é também uma base para I m ( T ) :

I m T = 1 ,   1 ,   ( - 1 ,   1 )

Como a dimensão da imagem é igual da dimensão do espaço de chegada ( R 2 ), T é sobrejetora.

Resposta

a) N T =   0 0 1 0 ,   0 0 0 1

dim ⁡ N ( T ) = 2

Não é injetora.

b)

I m T = 1 ,   1 ,   ( - 1 ,   1 )

dim ⁡ I m T = 2

É sobrejetora.

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Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( x ,- y )
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = - 2( x ,y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x ,2 y )
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( - 2 x ,2 y )