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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 2

Seja o operador linear T :   R 3 → R 3 definido pela matriz:

1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1

a) Mostrar que T é um isomorfismo.

b) Determinar a lei de que define o operador T - 1 .

c) Utilizar a matriz de T ou de T - 1 para obter o vetor v ∈ R 3 tal que T v = ( 2 ,   - 3 ,   0 ) .

Passo 1

O problema fornece um operador linear T e sua matriz de transformação na base canônica e pede para mostrarmos que ele é um isomorfismo. Esse nome estranho é equivalente a ser invertível.

Para mostrarmos que o operador é invertível, basta calcular seu determinante:

det ⁡ T = 1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1 = 1 ⋅ 1 + 0 + 0 = 1 ≠ 0

Como o determinante é não nulo, a matriz é invertível e o operador é um isomorfismo!

Passo 2

Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de [ T ] . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.

1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Multiplicando a primeira equação por - 2 e somando com a segunda:

1 0 1 0 - 1 - 1 0 0 - 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Somando a primeira linha com a terceira:

1 0 0 0 - 1 - 1 0 0 - 1 1 0 1 - 2 1 0 0 0 1 ⇒ 1 0 0 0 - 1 - 1 0 0 1 1 0 1 - 2 1 0 0 0 - 1

Somando a segunda equação com a terceira:

1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 1 0 1 - 2 1 - 1 0 0 - 1 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1

Assim, a matriz inversa é

T - 1 = 1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1

Para acharmos a expressão da transformação inversa, basta fazer o produto:

1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1 ⋅ x y z = x + z 2 x - y + z - z

Logo,

T - 1 x , y , z = ( x + z , 2 x - y + z , - z )

Passo 3

Por fim, queremos achar v tal que T v = ( 2 , - 3 ,   0 ) . Pela definição de transformação inversa, basta:

T v = 2 , - 3 ,   0 ⟺ v = T - 1 ( 2 , - 3 ,   0 )

Assim,

v = ( 2 + 0 ,   4 + 3 + 0 ,   0 )

Logo,

v = ( 2 ,   7 ,   0 )

Resposta

T - 1 x , y , z = ( x + z , 2 x - y + z , - z )

v = ( 2 ,   7 ,   0 )

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Provar que os vetores 1 , tet 2 - 1 3 são dois a dois ortogonais em relação ao produto interno dado por f t , g ( t ) = ∫ - 1 1 f t g t d t
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Considere no R 2 o produto interno dado por u , v = x 1 y 1 + 2 x 2 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 Para todo par de vetores u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) de R 2 .Determinar m a fim de que os vetores