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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 7

Propriedade: O determinante de uma matriz triangular A n × n e igual ao produto de sua diagonal.

  1. Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) = 5 × 5 . (Sugestão: Use e abuse do desenvolvimento de Laplace.)
  2. O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo?
  1. 5 x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 + 9 x 4 = 0 - 3 x 2 + 9 x 3 - 1 3 x 4 = 0 - 2 x 3 + x 4 = 0 x 4 = 1
  2. 3 x 5 + 2 x 4 + x 1 = 0 - x 3 + x 2 - x 1 = 5 - 9 x 3 - x 2 + 9 x 1 = 0 - 3 x 2 + x 1 = 0 x 1 = 0

Passo 1

  1. Vamos usar a sugestão dele. Seja a martiz triangular superior 5 × 5 qualquer abaixo:

    2. A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a 22 a 23 a 24 a 25 0 0 a 33 a 34 a 35 0 0 0 a 44 a 45 0 0 0 0 a 55

    Vamos utilizar a coluna 1 para aplicar o Teorema de Laplace, pois nela somente o elemento a 11 é não nulo. Assim, temos:

    det ⁡ A = a 11 a 22 a 23 a 24 a 25 0 a 33 a 34 a 35 0 0 a 44 a 45 0 0 0 a 55

    Usando novamente o teorema de Laplace na coluna 1 :

    det ⁡ A = a 11 a 22 a 33 a 34 a 35 0 a 44 a 45 0 0 a 55

    Usano o Teorema de Laplace novamente na coluna 1 :

    det ⁡ A = a 11 a 22 a 33 a 44 a 45 0 a 55 = a 11 a 22 a 33 a 44 a 55 - 0 ∙ a 45 = a 11 a 22 a 33 a 44 a 55

    Logo, conseguimos provar a propriedade:

    det ⁡ A = a 11 a 22 a 33 a 44 a 55

  2. Basta que a gente analise o determinante da matriz dos coeficientes, veja:
  1. 5 2 - 3 9 0 - 3 9 - 1 3 0 0 - 2 1 0 0 0 1 = 5 ∙ - 3 ∙ - 2 ∙ 1 = 30 ≠ 0

    2. Logo o sistema é possível e determinado, isto é, somente possui uma solução.

  2. Veja que a matriz dos coeficientes é triangular superior e possui um zero na diagonal principal. Disso, concluímos que o determinante da matriz dos coeficientes é nulo, pelo item a).

Por breve inspeção, as três últimas equações implicam que x 1 = x 2 = x 3 = 0 . Mas isso contraria a segunda euquação, pois teríamos 0 = 5 .

Resposta

  1. Demonstração;
  2. I) Uma solução; II) Nenhuma solução.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Mostre que a matriz A = cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 é invertível com qualquer valor de θ ; em seguida, encontre A - 1 usando o Teorema 2.3.6.
Resolva 4 x + 5 y = 2 11 x + y + 2 z = 3 x + 5 y + 2 z = 1 usando a regra de Cramer, quando aplicável.
Resolva - x 1 - 4 x 2 + 2 x 3 + x 4 = - 32 2 x 1 - x 2 + 7 x 3 + 9 x 4 = 14 - x 1 + x 2 + 3 x 3 + x 4 = 11 x 1 - 2 x 2 + x 3 - 4 x 4 = - 4 usando a regra de Cramer, quando aplicável.
Verifique que det ⁡ A B = d e t ⁡ ( B A ) e determine se vale a igualdade det ⁡ A + B = det ⁡ A + d e t ⁡ ( B ) . A = 2 1 0 3 4 0 0 0 2 B = 1 - 1 3 7 1 2 5 0 1