Propriedade: O determinante de uma matriz triangular e igual ao produto de sua diagonal.
- Prove esta propriedade no caso em que é uma matriz triangular superior (genérica) =. (Sugestão: Use e abuse do desenvolvimento de Laplace.)
- O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo?
Passo 1
- Vamos usar a sugestão dele. Seja a martiz triangular superior qualquer abaixo:
- Basta que a gente analise o determinante da matriz dos coeficientes, veja:
Vamos utilizar a coluna para aplicar o Teorema de Laplace, pois nela somente o elemento é não nulo. Assim, temos:
Usando novamente o teorema de Laplace na coluna :
Usano o Teorema de Laplace novamente na coluna :
Logo, conseguimos provar a propriedade:
- Veja que a matriz dos coeficientes é triangular superior e possui um zero na diagonal principal. Disso, concluímos que o determinante da matriz dos coeficientes é nulo, pelo item a).
Logo o sistema é possível e determinado, isto é, somente possui uma solução.
Por breve inspeção, as três últimas equações implicam que . Mas isso contraria a segunda euquação, pois teríamos .
Resposta
- Demonstração;
- I) Uma solução; II) Nenhuma solução.