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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 16

Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:

{[[x - 2 y + z = 1],[2 x + y = 3],[y - 5 z = 4]])

Passo 1

Fala meu querido, para resolver a questão vamos primeiro montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante:

[[[1,-,2,1],[2,1,0],[0,1,-,5]]]

Calculando o determinante expandindo nossa matriz 3 xx 3 e subtraindo a soma das colunas “principais” da soma das colunas “secundárias”, encontramos:

D = |[[1,-,2,1],[2,1,0],[0,1,-,5]]| [[1],[2],[0]] [[-,2],[1],[1]] = (- 5 + 0 + 2) - ( 0 + 0 + 20 ) = - 23

Passo 2

Após isso, podemos repetir o procedimento dos cálculos dos determinantes e calculamos os determinantes correspondentes a cada variável:

D_x = |[[1,-,2,1],[3,1,0],[4,1,-,5]]| = - 36

D_y = |[[1,1,1],[2,3,0],[0,4,-,5]]| = 3

D_z = |[[1,-,2,1],[2,1,3],[0,1,4]]| = 19

Reparem que para montar as matrizes D_x , D_y e D_z nós substituímos a coluna que representava a variável do índice pela coluna [1 3 4] que é a coluna dos resultados no nosso sistema, e mantemos as colunas dos coeficiente das outras variáveis.

Passo 3

Para terminar vamos usar a Regra de Cramer e vamos fazer as divisões dos valores que encontramos para os determinantes de cada variável pelo valor do determinante da matriz dos coeficientes:

x = (- 36)/(- 23) = (36)/(23)

y = (3)/(- 23) = - (3)/(23)

z = (19)/(- 23) = - (19)/(23)

Resposta

x = (36)/(23) ; y = - (3)/(23) ; z = - (19)/(23) .

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