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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 30

Mostre que a matriz A = cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 é invertível com qualquer valor de θ ; em seguida, encontre A - 1 usando o Teorema 2.3.6.

Passo 1

Para provar que A = cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 é invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. Usando o Teorema de Laplace, temos:

det ⁡ A = cos ⁡ θ c o s ( θ ) 0 0 1 - s e n θ - s e n θ cos ⁡ θ 0 1 + 0 - s e n ( θ ) cos ⁡ θ 0 0

det ⁡ A = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

det ⁡ A = cos 2 ⁡ ( θ ) + s e n 2 ( θ ) = 1

det ⁡ A = 1

Como det ⁡ A ≠ 0 , A é invertível.

Passo 2

Uma vez que provamos que a matriz é invertível, vamos usar o Teorema 2.3.6 para calcular sua inversa. O Teorema diz:

A - 1 = 1 det ⁡ A a d j A

Sendo a matriz adjunta a matriz dos cofatores transposta

a d j A = c o f A T e c o f A = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33

c i j = - 1 i + j | M a t r i z   d o   c o r t e   d e   i   e   j   d e   A |

Passo 3

O próximo passo é calcular cada um dos cofatores para depois coloca-los na matriz c o f ( A )

c 11 = - 1 1 + 1 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 1 + 1 × cos ⁡ θ 0 0 1 = c o s ⁡ ( θ )

c 12 = - 1 1 + 2 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 1 + 2 × - s e n θ 0 0 1 = s e n θ

c 13 = - 1 1 + 3 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 1 + 3 × 0 1 0 0 = 0

c 21 = - 1 2 + 1 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 2 + 1 × - s e n θ c o s ⁡ ( θ ) 0 1 = - s e n θ

c 22 = - 1 2 + 2 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 2 + 2 × cos ⁡ θ 0 0 1 = cos ⁡ θ

c 23 = - 1 2 + 3 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 2 + 3 × cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 0 = 0

c 31 = - 1 3 + 1 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 3 + 1 × sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 = 0

c 32 = - 1 3 + 2 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 3 + 2 × cos ⁡ θ 0 - s e n θ 0 = 0

c 33 = - 1 3 + 3 × cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 = - 1 3 + 3 × cos ⁡ θ s e n θ - s e n θ cos ⁡ θ = 1

Passo 4

Calculados os cofatores, temos a matriz c o f A = cos ⁡ θ s e n θ 0 - s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Logo, a d j A = c o f A T

a d j A = cos ⁡ θ - s e n θ 0 s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Passo 5

Agora, é aplicar o Teorema 2.3.6

A - 1 = 1 det ⁡ A a d j ( A )

A - 1 = 1 1 cos ⁡ θ - s e n θ 0 s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

A - 1 = cos ⁡ θ - s e n θ 0 s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Resposta

A - 1 = cos ⁡ θ - s e n θ 0 s e n θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

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