7. Provar que p r o j_g (u_1 + u_2) = p r o j_g u_1 + p r o j_g u_2 . Fazer a figura.

Passo 1

Vamos só usar uma das definições lááá do capítulo, na parte 1, de produto interno:

〈u + v , w〉 = 〈u , w〉 + 〈v , w〉

E vamos usar a fórmula de projeção...

p r o j_g u = (〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Passo 2

Usanso agora as letras do nosso problema:

p r o j_g (u_1 + u_2) = (〈u_1 + u_2 , g〉)/(〈g , g〉) g

Aplicando a definição:

= (〈u_1 , g〉 + 〈u_2 , g〉)/(〈g , g〉) g

E rearranjando:

= (〈u_1 , g〉)/(〈g , g〉) g + (〈u_2 , g〉)/(〈g , g〉) g

Que nada mais é que:

= p r o j_g u_1 + p r o j_g u_2

Portanto,

p r o j_g (u_1 + u_2) = p r o j_g u_1 + p r o j_g u_2

Como queríamos provar.

Resposta

p r o j_g (u_1 + u_2) = p r o j_g u_1 + p r o j_g u_2

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6. Calcular a projeção do vetor x , y , z ∈ R 3 sobre o sub-espaço gerado por 1,0 , 0 e 0,1 , 0 . Fazer uma figura.
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .
10. Provar que p r o j g u ≤ u , para todo vetor u. Quanto vale a igualdade?
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .