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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 1f

1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:

a) 〈u , u〉 ;

b) 〈u , w〉 ;

c) 〈u , v + w〉 ;

d) 〈u , u〉 ;

e) ‖u + v‖^2 ;

f) ‖u - v‖^2 .

Passo 1

f) aqui nós queremos a norma ao quadrado... Lembrando que a norma de um vetor x :

‖x‖ = sqrt(〈x , x〉)

Então:

‖x‖^2 = 〈x , x〉

Onde:

〈x , x〉 = x_1^2 + x_2^2 + ...

Passo 2

Mas antes de aplicar isso vamos precisar fazer a diferença de dois vetores, né...

Considerando:

u = (u_1 , u_2 , u_3)

v = (v_1 , v_2 , v_3)

Somando os dois vetores:

u - v = (u_1 - v_1 , u_2 - v_2 , u_3 - v_3)

Então o módulo ao quadrado fica:

‖u - v‖^2 = (u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2

Passo 3

Substituindo os valores:

‖u - v‖^2 = (1 - 3)^2 + (2 - 1)^2 + (- 1 - 0)^2

‖u - v‖^2 = 6

Resposta

‖u - v‖^2 = 6

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3. Provar que 〈u , u〉 = 0 se, e somente se, u = (0 , ... , 0) .
8. Provar que p r o j_g (lambda u) = lambda p r o j_g u e que p r o j_lambda g u = p r o j_g u (lambda != 0) .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;
2. Provar que 〈u , lambda v〉 = 〈lambda u , v〉 = lambda 〈u , v〉 , AA lambda in R e AA u , v in R^n .
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .