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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 6

6. Calcular a projeção do vetor x , y , z ∈ R 3 sobre o sub-espaço gerado por 1,0 , 0 e 0,1 , 0 . Fazer uma figura.

Passo 1

Vamos considerar o sub-espaço gerado W pelos vetores g 1 = 1,0 , 0 e g 2 = 0,1 , 0 .

Então a projeção de u = x , y , z em W vai ser:

p r o j W u = u , g 1 g 1 , g 1 g 1 + u , g 2 g 2 , g 2 g 2

Passo 2

Fazendo so produtos internos:

u , g 1 = x 1 + y 0 + z 0

u , g 1 = x

g 1 , g 1 = 1 2 + 0 2 + 0 2

g 1 , g 1 = 1

u , g 2 = x 0 + y 1 + z 0

u , g 2 = y

g 2 , g 2 = 0 2 + 1 2 + 0 2

g 2 , g 2 = 1

Passo 3

Então a projeção fica:

p r o j W u = x 1 1,0 , 0 + y 1 0,1 , 0

p r o j W u = x , y , 0

Resposta

p r o j W u = x , y , 0

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9. Pelos exercícios 7 e 8 a função u↦ p r o j g u é uma transformação linear de R n em R n . Quais são seu núcleo o e sua imagem?
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .
4. Calcular p r o j_g u nos seguintes casos:u = (1,2 , 1,4) e g = (4,0 , 0,1) ; u = (1,1 , 1,1) e g = (2,2 , 2,2) ; u = (4,3 , 5,2 , 5) e g = (1,1 , 1,1 , 1) .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;