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Enunciado

Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 6b

6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .

a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e t   s e n   t são soluções da equação diferencial L y = 0 .

b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.

c) Qual é a solução geral da equação y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 ?

d) Dentre as soluções existe uma, e apenas uma que satisfaz as condições f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 . Ache-a.

Passo 1

b) Pra provar isso vamos ter que lembrar do wronskiano... que é calcular o determinante:

W f 1 , f 2 = f 1 f 2 f 1 ' f 2 '

Vamos chamar aqui:

f 1 = e t cos ⁡ t

f 2 = e t s e n   t

E se o wronskiano for diferente de zero, então são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos ao trabalho, então:

Calculando as derivadas:

f 1 ' = e t cos ⁡ t - e t s e n   t

f 2 ' = e t s e n   t + e t cos ⁡ t

Passo 3

E calculando o wronskiano:

W = e t cos ⁡ t e t s e n   t e t cos ⁡ t - e t s e n   t e t s e n   t + e t cos ⁡ t

W = e 2 t cos ⁡ t s e n   t + cos 2 ⁡ t - e 2 t cos ⁡ t s e n   t - s e n 2 t

W = e 2 t ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t )

Que é diferente de zero, então são linearmente independentes.

Resposta

são linearmente independentes.

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