Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 42b
Prove, em cada caso, que a equação dada descreve uma quádrica cônica.
(a)
Passo 1
Bom pessoal, o que significa provar que uma equação descreve uma quádrica cônica?
A forma mais fácil de conseguir isso, é mostrando que a equação pode ser descrita nessa forma aqui:
Então vamos olhar para a nossa equação:
Temos que eliminar esse termo com . Vamos fazer isso com uma rotação.
Passo 2
Já que nosso problema está no produto , vamos fazer uma rotação desses dois eixos em torno de .
Essa rotação é representada por essa matriz de rotação aqui:
E a coordenada fica . Multiplicando essas matrizes, encontramos o seguinte:
Substituindo isso na equação:
Vamos reorganizar um pouco.
Passo 3
Primeiro temos que lembrar de algumas identidades trigonométricas:
Então:
Se a gente quer fazer o sumir, precisamos fazer:
A solução mais simples para isso, visto que é:
Substituindo isso na equação:
Mas e , então:
E agora:
Que é exatamente a forma reduzida que vimos lá em cima! É o caso .
Ou seja, provamos que a equação descreve uma quádrica cônica.
Resposta
Demonstração. A equação do enunciado pode ser reescrita como .