Prove que se det ⁡ A = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A - 1 também são inteiros.

Passo 1

Nessa questão, vamos usar da relação A - 1 = 1 det ⁡ A a d j ( A ) . Temos que argumentar a respeito do determinante da matriz A e se os cofatores que formam a matriz adjunta também são inteiros.

Passo 2

Se det ⁡ A = 1 já temos o primeiro passo passo para chegarmos na nossa resposta. Logo, o determinante é inteiro.

Passo 3

Se calcularmos as matriz dos cofatores, teremos uma matriz com entradas inteiras. Alguns sinais podem ser alterados por conta da equação usada para calcular o cofator.

Passo 4

Se a matriz dos cofatores possui entradas inteiras, a sua transposta também terá.

Logo, como a d j A = c o f A T

Então, a matriz adjunta também terá entradas inteiras.

Passo 5

Se voltarmos à equação A - 1 = 1 det ⁡ A a d j ( A ) usaremos do det ⁡ A = 1

Então, A - 1 = a d j ( A )

Como vimos que a matriz adjunta tem entradas positivas, a matriz inversa também terá

Resposta

A - 1 = a d j ( A ) sendo a d j A i j = a i j   i n t e i r o

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