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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 33

Prove que se det ⁡ A = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A - 1 também são inteiros.

Passo 1

Nessa questão, vamos usar da relação A - 1 = 1 det ⁡ A a d j ( A ) . Temos que argumentar a respeito do determinante da matriz A e se os cofatores que formam a matriz adjunta também são inteiros.

Passo 2

Se det ⁡ A = 1 já temos o primeiro passo passo para chegarmos na nossa resposta. Logo, o determinante é inteiro.

Passo 3

Se calcularmos as matriz dos cofatores, teremos uma matriz com entradas inteiras. Alguns sinais podem ser alterados por conta da equação usada para calcular o cofator.

Passo 4

Se a matriz dos cofatores possui entradas inteiras, a sua transposta também terá.

Logo, como a d j A = c o f A T

Então, a matriz adjunta também terá entradas inteiras.

Passo 5

Se voltarmos à equação A - 1 = 1 det ⁡ A a d j ( A ) usaremos do det ⁡ A = 1

Então, A - 1 = a d j ( A )

Como vimos que a matriz adjunta tem entradas positivas, a matriz inversa também terá

Resposta

A - 1 = a d j ( A ) sendo a d j A i j = a i j   i n t e i r o

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Mostre que se A = a b c d , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?
Mostre que A, nxn, é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz nxn, então det ⁡ α A =α n det ⁡ ( A ) .
Mostre que se A t = A - 1 , então det ⁡ ( A ) =± 1
Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:b) a 11 + a 12 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 - a 32 a 33