Enunciado

Dado o triângulo ABC, sejam P, O e R pontos tais que A B → = α P B → ,   A C → = β Q C → ,   α P R → = β Q R → . Prove que, se α ≠ 1 , então B, C e R são colineares.

Passo 1

Bora lá!

O exercício condiciona que α ≠ 1 , então temos que buscar alguma igualdade que invalide caso α = 1 , certo? E devemos usar as colinearidades subentendidas para representar a figura:

Passo 2

Devemos achar as relações que envolvam os lados do triângulo em função de α , β e que envolvam R:

B C → = A B → + A C →

B C → = - α P B → + β Q C →

B C → = - α P R → + R B → + β Q R → + R C →

B C → = - α P R → - α R B → + β Q R → + β R C →

Passo 3

Como α P R → = β Q R → , podemos cortar um com o outro, beleza?

Aplicando o restante das relações relativas a P, Q, e R deduzidas, temos:

B C → = - α R B → + β R C →

B C → = - α R C → - B C → + β R C →

B C → - α B C → = - α R C → + β R C →

B C → 1 - α = R C → ( β - α )

Passo 4

Concluímos que o vetor B C → é múltiplo de R C → , portanto B, C e R são pontos colineares, desde que α ≠ 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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