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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 35

Prove que, se u → ∧ v → = w → ∧ t → e u → ∧ w → = v → ∧ t → , então u → - t → e v → - w → são linearmente dependentes.

Passo 1

Queremos ver se dois vetores são LD. Para isso, usamos a a relação

a → ,   b →   L D ⟺ a → ∧ b → = 0 →

Assim, vamos fazer o produto vetorial entre a → = u → - t → e b → = v → - w → :

a → ∧ b → = u → - t → ∧ v → - w →

Passo 2

Fazendo a distributiva:

a → ∧ b → = u → ∧ v → - u → ∧ w → - t → ∧ v → + t → ∧ w →

Mas sabemos que u → ∧ v → = w → ∧ t → . Assim,

u → ∧ v → + t → ∧ w → = u → ∧ v → - w → ∧ t → = 0 →

Analogamente, como u → ∧ w → = v → ∧ t → , temos que

- u → ∧ w → - t → ∧ v → = - v → ∧ t → + v → ∧ t → = 0 →

Assim,

a → ∧ b → = 0 →

Passo 3

Provamos assim que a → e b → são LD, exatamente o que o exercício pediu!

Resposta

Demonstração.

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