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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 14

Nos itens do exercício 16-1 em que r e s são reversas, obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo a s .

Passo 1

r e s são reversas nos itens c, g e h do exercício 16-1 certo?

Então vamos lá encontrar esses planos que queremos?

Para o plano conter r e ser paralelo a s , vamos seguir duas condições:

- Seu vetor normal vai ser o produto vetorial dos vetores diretores de r e s , porque as duas retas são paralelas a esse plano.

- Na hora de encontrarmos d na equação geral, vamos substituir um ponto de r , já que r está contida nesse plano.

Passo 2

c) O vetor normal do plano vai ser

2 ,   3 ,   2 ∧ 1 ,   2 ,   0 = ( - 4 ,   2 ,   1 )

Então, a equação do plano é do tipo

- 4 x + 2 y + z + d = 0

Substituindo o ponto ( - 1 ,   0 ,   - 1 ) da reta r :

- 4 . ( - 1 ) + 2 . 0 + ( - 1 ) + d = 0

d = - 3

Então:

- 4 x + 2 y + z - 3 = 0

Passo 3

g) O vetor normal do plano vai ser

2 ,   1 ,   - 1 ∧ 5 3 , 4 3 ,   1 = 7 3 ,   - 11 3 ,   1

Então, a equação do plano é do tipo

7 3 x - 11 3 y + z + d = 0

Substituindo o ponto ( - 1 ,   0 ,   0 ) da reta r :

7 3 - 1 - 11 3 . 0 + 0 + d = 0

d = 7 3

Então:

7 3 x - 11 3 y + z - 7 3 = 0

Multiplicando tudo por 3:

7 x - 11 y + 3 z - 7 = 0

Passo 4

h) O vetor normal do plano vai ser

1 ,   2 ,   3 ∧ 1 ,   1 ,   - 1 = - 5 ,   4 ,   - 1

Então, a equação do plano é do tipo

- 5 x + 4 y - z + d = 0

Substituindo o ponto ( - 3 ,   2 ,   1 ) da reta r :

- 5 ( - 3 ) + 4 . 2 - 1 + d = 0

d = - 22

Então:

- 5 x + 4 y - z - 22 = 0

Resposta

c) - 4 x + 2 y + z - 3 = 0

g) 7 x - 11 y + 3 z - 7 = 0

h) - 5 x + 4 y - z - 22 = 0

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