Enunciado

  1. Prove que se T   :   R n   →   R m   for uma transformação matricial, então T ( 0 )   =   0 , ou seja, T transforma o vetor nulo de R n   no vetor nulo de R m .
  2. A recíproca de a) não é verdadeira. Dê um exemplo de uma transformação T tal que T 0 =   0 , mas tal que T não é uma transformação matricial.

Passo 1

  1. Vamos usar como exemplo uma matriz de m x n fatores.

    M m x n = a 1 x 1 ⋯ a 1 x n ⋮ ⋱ ⋮ a m x 1 ⋯ a m x n

    Agora vamos multiplicar por uma matriz nula M ' 1 x n = 0

    a 1 x 1 ⋯ a 1 x n ⋮ ⋱ ⋮ a m x 1 ⋯ a m x n ⋅ 0 ⋮ 0 = 0 , logo T transforma um vetor nulo no R n é um vetor nulo no R m .

    Passo 2

T x , y = ( x 2 + y 2 , x y ) , T 0,0 = ( 0,0 ) .

O teorema 4.10.2 nos indica que um vetor pra ser transformação matricial precisa cumprir essas duas regrinhas.

i T   u + v =   T   u +   T   ( v )   [ A d i t i v i d a d e ]

i i T k v =   k T ( v )   [ H o m o g e n e i d a d e ]

Usando ( i ) temos:

T 1,2 = 5,2

T 1,1 + T 0,1 = 2,1 + 1,0 = ( 3,1 )

Como a condição ( i ) não é atendida logo T ( x , y ) não é transformação matricial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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